Ciągi - Wstęp

Definicja ciągu

Ciąg - przyporządkowanie wszystkim liczbom naturalnym z przedziału od $1$ do $n$ lub wszystkim liczbom naturalnym elementów z pewnego zbioru.

Przykłady ciągów:

• Ciąg liczbowy: $1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$ - ciąg kolejnych liczb naturalnych.

• Ciąg zwierząt: $kot, pies, krowa, koń, owca, kura, \dots$

• Ciąg skończony: $1, 2, 3, 4, 5$

• Ciąg nieskończony: $2,4,8,16, \dots$

Ciąg to funkcja:

$$f: n \to a_n$$

czyli $f(n) = a_n$

Przykłady ciągów liczbowych

• $1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$ - ciąg kolejnych liczb naturalnych.
• $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, \dots$ - ciąg kolejnych liczb parzystych dodatnich.
• $1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, \dots$ - naprzemienny ciąg liczb dodatnich i ujemnych.
• $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ - malejący ciąg ułamków.
• $3, 9, 27, 81, 243, \dots$ - ciąg kolejnych potęg 3.
• $80, 77, 74, 71, 68, 65, 62, 59, 56, \dots$ - ciąg malejący.

Wzór ogólny ciągu

Wzór ogólny ciągu - to reguła (funkcja), według której powstaje dany ciąg.

• Zamiast pisać: $f(n) = 2n$ dla $n \in \mathbb{N}$, napiszemy krótko: $a_n = 2n$.
• Zamiast pisać: $f(n) = n^2$ dla $n \in \mathbb{N}$, napiszemy krótko: $a_n = n^2$.
• Zamiast pisać: $f(n) = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$ dla $n \in \mathbb{N}$, napiszemy krótko: $a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$.

Uwaga: $(-1)^n=1$ dla $n$ parzystych i $(-1)^n=-1$ dla $n$ nieparzystych.

Wzór rekurenycyjny ciągu

Wzór rekurencyjny ciągu - to reguła, według której powstaje dany ciąg, w której kolejne wyrazy zależą od poprzednich.

• $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$ - ciąg arytmetyczny o różnicy 2.
• $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2 \cdot a_n$ - ciąg geometryczny o ilorazie 2.
• $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + (-1)^n$ - ciąg naprzemienny.

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - porównanie

Ciąg arytmetyczny:

• Wzór na $n$-ty wyraz: $a_n = a_1 + (n-1)r$
• Suma wyrazów: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
• Średnia arytmetyczna: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Ciąg geometryczny:

• Wzór na $n$-ty wyraz: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
• Suma wyrazów: $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$
• Średnia geometryczna: $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$

Tabela porównawcza:

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny definiujemy jako ciąg, w którym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę $q$ (iloraz ciągu):

$$a_1 = a_1 \cdot 1 = a_1 \cdot q^0$$

$$a_2 = a_1 \cdot q = a_1 \cdot q^1$$

$$a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2$$

$$a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^3$$

$$\vdots$$

$$a_n = a_{n-1} \cdot q = a_1 \cdot q^{n-1}$$

Iloraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$

Przykład:

Jeżeli $a_1 = 2$ oraz $q = 2$, to kolejne wyrazy ciągu to:

$$a_1 = 2 \qquad\\ a_2 = 2 \cdot 2 = 4 \qquad\\ a_3 = 2 \cdot 2^2 = 8 \qquad\\ a_4 = 2 \cdot 2^3 = 16 \qquad\\ a_7 = 2 \cdot 2^6 = 128$$

Suma ciągu geometrycznego

Suma wyrazów ciągu geometrycznego $S_n$ wyraża się wzorem:

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_1 (1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1})$$

Dla sumy skończonej, wzór na sumę jest:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Jeśli $q > 1$, suma ciągu geometrycznego rośnie w nieskończoność.

Jeśli $|q| < 1$, to suma ciągu geometrycznego dąży do:

$$S_n = \frac{a_1}{1 - q}$$

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny definiujemy jako ciąg, w którym każdy wyraz powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu stałej liczby $r$ (różnica ciągu):

$$a_1 = a_1 + 0 \cdot r \qquad\\ a_2 = a_1 + 1 \cdot r \qquad\\ a_3 = a_1 + 2 \cdot r \qquad\\ a_4 = a_1 + 3 \cdot r \qquad\\ \vdots \qquad\\ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

Różnica ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

$$a_{n+1} - a_n = r$$

Przykład:

Jeżeli $a_1 = 1$ oraz $r = 2$, to kolejne wyrazy ciągu to:

$$a_1 = 1\qquad\\ a_2 = 1 + 2 = 3 \qquad\\ a_3 = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \qquad\\ a_4 = 1 + 3 \cdot 2 = 7 \qquad\\ a_7 = 1 + 6 \cdot 2 = 13$$

Suma ciągu arytmetycznego

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego $S_n$ wyraża się wzorem:

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Przykład:

Jeżeli $a_1 = 1$, $a_n = 100$ oraz $n = 100$, to suma wynosi:

$$S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = \frac{101}{2} \cdot 100 = 5050$$

Ciągi - ciąg dalszy

Suma ciągu arytmetycznego (Gauss)

Nauczyciel Gaussa kazał uczniom zsumować liczby od 1 do 100. Gauss niemal natychmiast podał wynik 5050. Jak to zrobił?

Rozważmy sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100:

$$S_{100} = 1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100$$

i dodajmy do niej tę samą sumę w odwrotnej kolejności:

$$S_{100} = 100+99+98+\dots+2+1$$

Możemy teraz zauważyć, że suma obu tych ciągów wynosi:

$$2S_{100} = 101+101+101+\dots+101+101 = 101 \cdot 100$$

$$S_{100} = \frac{101}{2} \cdot 100 = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100$$

Mając

$$S_{100} = \frac{101}{2} \cdot 100 = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100$$

sumę tę można uogólnić dla dowolnego ciągu arytmetycznego:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz ciągu, $a_n$ to $n$-ty wyraz ciągu, a $n$ to liczba wyrazów ciągu.

Skąd się wziął wzór na sumę geometrycznego?

Rozważmy sumę ciągu geometrycznego:

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$$

Pomnóżmy tę sumę przez iloraz ciągu $q$:

$$q \cdot S_n = a_1 \cdot q + a_2 \cdot q + a_3 \cdot q + \dots + a_n \cdot q$$

Odejmijmy od powyższego równania pierwotne równanie sumy:

$$q \cdot S_n - S_n = a_1 \cdot q + a_2 \cdot q + a_3 \cdot q + \dots + a_n \cdot q - a_1 - a_2 - a_3 - \dots - a_n$$

Zauważmy, że wiele wyrazów się skróci:

$$q \cdot S_n - S_n = a_n \cdot q - a_1$$

Zatem:

$$S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}$$

Gdy mamy niekończący się ciąg geometryczny gdzie $|q| < 1$, to suma wyrazów tego ciągu wynosi:

$$S = \frac{a_1}{1 - q}$$

Suma nieskończona jest równa:

$$S = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + a_1 \cdot q^3 + \dots = a_1 \cdot (1 + q + q^2 + q^3 + \dots)$$

Zauważmy, że w nawiasie mamy:

$$Z= (1 + q + q^2 + q^3 + \dots) = 1+ q \cdot (1 + q + q^2 + q^3 + \dots) = 1 + q \cdot Z$$

Zatem:

$$Z = \frac{1}{1 - q}$$

A więc suma nieskończona ciągu geometrycznego wynosi:

$$S = a_1 \cdot Z = \frac{a_1}{1 - q}$$

Ciągi - dalsze przykłady

Liczby Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w którym każda liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb, zaczynając od 0 i 1:

$$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots$$

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu Fibonacciego:

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

Pierwsze dwadzieścia wyrazów ciągu Fibonacciego to:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} F_0 & F_1 & F_2 & F_3 & F_4 & F_5 & F_6 & F_7 & F_8 & F_9 & F_{10} & F_{11} & F_{12} & F_{13} & F_{14} & F_{15} & F_{16} & F_{17} & F_{18} & F_{19} \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 & 144 & 233 & 377 & 610 & 987 & 1597 & 2584 & 4181 \end{array}$$

Ciąg został omówiony w roku 1202 przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, w dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

Mamy wzór rekurencyjny, ale czy jest wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu Fibonacciego?

Używjąc złotej proporcji $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, można obliczyć $n$-ty wyraz ciągu jako:

$$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n.$$

Liczby Catalana

Liczby te zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Leonarda Eulera w XVIII wieku, który badał liczbę podziałów wielokątów na trójkąty. Zostały nazwane na cześć Eugène Charlesa Catalana, który rozważał je jako liczbę sposobów rozmieszczeń nawiasów w wyrażeniach matematycznych.

Ciąg liczb Catalana to ciąg liczb naturalnych:

$$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, \dots$$

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu Catalana:

$$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$$

Serial Lost

W serialu Lost pojawia się ciąg liczb: 4, 8, 15, 16, 23, 42. Ich suma wynosi 108. Co 108 minut w serialu resetuje się stacja badawcza.

Link: https://oeis.org/A104101

Liczby pierwsze

Ciąg liczb pierwszych to ciąg liczb naturalnych, które są większe od 1 i mają dokładnie 2 dzielniki: 1 i samą siebie.

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$$

Wzór na $n$-tą liczbę pierwszą:

$$p_n = \text{nth prime number} = ???$$

Wolfram Alpha

Czasami warto skorzystać z Wolfram Alpha, aby znaleźć wzory na ciągi liczb: przykład.

OEIS - The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) to internetowa encyklopedia ciągów liczb całkowitych. Zawiera ponad 300 tysięcy ciągów liczb, wraz z informacjami na ich temat.

Przykłady ciągów z OEIS:

• Ciąg Fibonacciego: A000045
• Ciąg liczb Catalana: A000108
• Ciąg liczb pierwszych: A000040
• Podział tortu n-cięciami: $1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, ...$A000125

Zawiera też wartości kombinacji stałych matematycznych i fizycznych!

Równania nowego typu:

$$\frac{1}{4^n} + \frac{1}{16^n} + \frac{1}{64^n} + \dots = 4^n - 1$$

Ciąg harmoniczny

Mikołaj Oresme, (ur. około 1320, zm. 11 lipca 1382) – francuski średniowieczny filozof i katolicki biskup. Prowadził badania w zakresie matematyki, ekonomii, fizyki i astronomii. Ponadto był uznanym tłumaczem i komentatorem dzieł Arystotelesa.

Do jego osiągnięć zalicza się: tworzenie francuskiej terminologii naukowej, w matematyce – wprowadzenie potęgi w wykładniku ułamkowym i udowodnienie rozbieżności szeregu harmonicznego, w astronomii – koncepcję dobowego ruchu Ziemi, w ekonomii – pionierskie prace na temat teorii pieniądza.

Wiemy, że:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots \text{zbiega do 2}$$

Co zrobić z bardzo podobnym wyrażeniem?

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

Dowód Oresme na rozbieżność szeregu harmonicznego:

Oresme zauważył (ok 1380 AD), że możemy podzielić ciąg na grupy:

$$1 + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \dots$$

a później napisać nierówność

$$1 + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \ldots\quad > \quad 1 + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right) + \dots$$

Prawa strona

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = \infty$$

czyli

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} > \infty$$

Co ciekawe, jeśli będziemy mieć naprzemienny ciąg harmoniczny to ten jest skończony:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$$

Zwróćmy również uwagę na tzw. funkcję zeta Riemanna:

$$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}$$

Trwają wysiłki by znaleźć miejsc zerowe tej funkcji, ponieważ są one związane z liczbami pierwszymi. Jest to jedno z najważniejszych nierozwiązanych problemów matematycznych.

Ciekawostka: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$. Tak, to jest równość!

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna to metoda dowodzenia używana do wykazania prawdziwości pewnego twierdzenia dla wszystkich liczb naturalnych. Proces ten składa się z dwóch etapów:

1. Krok bazowy: Wykazujemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pierwszej liczby naturalnej (najczęściej $n = 1$).

2. Krok indukcyjny: Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej $n = k$ (tzw. założenie indukcyjne), i wykazujemy, że jest ono prawdziwe również dla $n = k + 1$.

Jeżeli oba kroki zostaną spełnione, wówczas zgodnie z zasadą indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

Przykład: Udowodnij, sumę sześcianów liczb naturalnych da się zapisać jako:

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{2^2}$$

1. Krok bazowy (dla ( n = 1 )):

$$1^3 = \frac{1^2 (1+1)^2}{2^2}$$

Lewa strona = Prawa strona, więc dla ( n = 1 ) równanie jest prawdziwe.

2. Krok indukcyjny (dla ( n = 2 )):

$$1^3 + 2^3 = \frac{2^2 (2+1)^2}{2^2}$$

Zatem lewa strona = prawa strona, czyli $g = g$, co oznacza, że dla $n = 2$ równanie również jest prawdziwe.

1. Założenie indukcyjne:

Zakładamy, że dla pewnej liczby $n$ równanie jest prawdziwe:

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{2^2}$$

4. Dowód dla $n+1$:

Musimy wykazać, że:

$$\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{(n+1)^2 (n+2)^2}{2^2}$$

Dodajemy $(n+1)^3$ do obu stron:

$$L = \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{2^2} + (n+1)^3$$

Uproszczenie:

$$= \frac{(n+1)^2 \left( \frac{n^2}{4} + n+1 \right)}{2^2}$$

Po dalszych przekształceniach:

$$= \frac{(n+1)^2 (n^2 + 4n + 4)}{2^2}$$

Ostatecznie:

$$= \frac{(n+1)^2 (n+2)^2}{2^2}$$

Dowód zakończony, więc twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich $n \geq 1$.