Liczby

Liczby to podstawowy element matematyki, który służy do wyrażania ilości, wielkości, odległości, czasu, masy, temperatury, prędkości, energii, pieniędzy, informacji, itp. Liczby można podzielić na różne kategorie, takie jak liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste, zespolone, itp. Każda kategoria liczb ma swoje własne właściwości i zastosowania w matematyce i naukach ścisłych.

• Naturalne: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ Oznaczane jako $\mathbb{N}$
• Całkowite: $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$ Oznaczane jako $\mathbb{Z}$
• Rzeczywiste: $-3.5, 0, 2.71828, \pi, \dots$ Oznaczane jako $\mathbb{R}$
• Ułamki: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{22}{7}, \dots$ Oznaczane jako $\mathbb{Q}$
• Niewymierna: $\sqrt{2}, \pi, e, \dots$ Oznaczane jako $\mathbb{P}$
• Zespolone: $1 + 2i, 3 - 4i, \dots$ Oznaczane jako $\mathbb{C}$
• Transcedentalne: $\pi, e, \dots$
• Dodatnie: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
• Ujemne: $-1, -2, -3, -4, -5, \dots$
• Parzyste: $0, 2, 4, 6, 8, \dots$
• Nieparzyste: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
• Pierwsze: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$
• Nieskończone: $\infty, -\infty$

Zbiory

Definicja zbioru - to kolekcja elementów, które są ze sobą powiązane.

• Pusty: $\emptyset$ definiuje zbiór, który nie zawiera żadnych elementów
• Skończony: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$
• Nieskończony: $\{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$
• Przemienny: $\{a, b, c, d, e\}$
• Nieprzemienny: $\{a, b, c, d, a\}$
• Podzbiór: $\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Operacje na zbiorach

• Suma: $A \cup B$ definiuje zbiór elementów, które należą do $A$ lub $B$
• Przecięcie: $A \cap B$ definiuje zbiór elementów, które należą zarówno do $A$ i $B$
• Różnica: $A \setminus B$ definiuje zbiór elementów, które należą do $A$ i nie należą do $B$
• Moc zbioru: $|A|$ - liczba elementów w zbiorze

Algebra

Zbiór z działaniem dwuargumentowym, czyli $\{A, \otimes \}$, gdzie $A$ to zbiór, a $\otimes$ to działanie dwuargumentowe.

Iloczyn kartezjański

Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów $A$ i $B$ to zbiór wszystkich uporządkowanych par $(a, b)$, gdzie $a \in A$ i $b \in B$.

$$A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$$

Potęga i wykładnik

Potęgowanie to operacja matematyczna, która polega na wielokrotnym mnożeniu danej liczby przez samą siebie. Liczbę, którą mnożymy, nazywamy podstawą potęgi, a liczbę określającą, ile razy mnożenie jest wykonywane, nazywamy wykładnikiem.

$$x^n = x \cdot x \cdot \dots \cdot x \quad \text{(n czynników)}$$

W wyrażeniu $a^b$, $a$ to podstawa, a $b$ to wykładnik. Na przykład, w wyrażeniu $2^3$, liczba 2 jest podstawą, a 3 to wykładnik, co oznacza $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

• Jeśli $x$ jest podstawą, mamy funkcję potęgową. Przykład: $x^2$.
• Jeśli $x$ jest wykładnikiem, mamy funkcję wykładniczą. Przykład: $2^x$.

Ps. niedługo zobaczysz, że jest pewna szczególna podstawa, która jest bardzo ważna w matematyce, mianowicie liczba $e=2.71828\dots$. Funckja $e^x$ jest bardzo ważna w analizie matematycznej.

Pierwiastek

Pierwiastek to operacja odwrotna do potęgowania. Pierwiastek stopnia $n$ z liczby $a$ to liczba $b$, taka że $b^n = a$. Przykładowo, pierwiastek kwadratowy z 9 to 3, ponieważ $3^2 = 9$.

$$\sqrt[n]{a} = b \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad b^n = a$$

Logarytm

Logarytm to operacja odwrotna do potęgowania, która odpowiada na pytanie: "Do jakiej potęgi $c$ należy podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę $b$?". Matematycznie, logarytm przy podstawie $a$ z liczby $b$ oznacza liczbę $c$, taką że:

$$\log_a b = c \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^c = b$$

Na przykład, $\log_2 8 = 3$, ponieważ $2^3 = 8$. Logarytmy są szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Przykłady:

• $2^3 = 8$, więc $\log_2 8 = 3$
• $10^3 = 1000$, więc $\log_{10} 1000 = 3$

Najlepszy sposób na zapamiętanie tego

Na lewym wierzchołku jest podstawa, a górze wykładnik, zaś na prawym wierzchołku wynik.

Rozważ trzy scenariusze:

    x
   / \
  /   \
 10 -  1000

    3
   / \
  /   \
 x -  1000

    3
   / \
  /   \
 10 -  x

Logarytmy:

$$10^x = 1000 \qquad\Rightarrow\qquad x = \log_{10}(1000)=3$$

Pierwiastkowanie:

$$x^3 = 1000 \qquad\Rightarrow\qquad x = \sqrt[3]{1000}=10$$

Potęgowanie:

$$10^3 = x \qquad\Rightarrow\qquad x = 1000$$

Liczba e

Liczba $e$, znana również jako liczba Eulera lub liczba Nepera, jest podstawą logarytmu naturalnego i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Zastosowania liczby $e$

Liczba $e$ występuje w funkcjach wykładniczych i logarytmicznych, a także w szeregu zastosowań praktycznych:

• Analiza matematyczna: podstawowa rola w różniczkowaniu i całkowaniu funkcji wykładniczych.
• Równania różniczkowe: rozwiązania wielu równań różniczkowych naturalnie przyjmują postać wykładniczą z podstawą $e$.
• Zjawiska fizyczne i finansowe: liczba $e$ modeluje wzrost wykładniczy, np. w populacjach, procesach chemicznych, i finansach (oprocentowanie składane).
• Statystyka: rozkład normalny Gaussa, czyli krzywa dzwonowa.

Definicje liczby $e$

Przybliżona wartość liczby $e$ wynosi:

$$e \approx 2.718281828459045\ldots$$

Granica ciągu:

Liczba $e$ może być zdefiniowana jako granica następującego ciągu:

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

Suma szeregu:

Liczbę $e$ można również wyrazić jako sumę nieskończonego szeregu potęgowego:

$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$$

Alternatywne definicje

Liczba $e$ może być również określona jako wartość argumentu funkcji $f(x) = x^{1/x}$, dla którego jej wartość jest największa, czyli:

$$f(x) = x^{1/x}, \quad x > 0$$

Związki z trygonometrią

Liczba $e$ pojawia się także w wyrażeniach trygonometrycznych:

$$sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$

$$cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$

Właściwości liczby $e$:

• Niewymierność: Liczba $e$ jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie można jej zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.
• Transcendencja: $e$ jest także liczbą transcendentalną, co oznacza, że nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych, podobnie jak liczba $\pi$.

Funkcja wykładnicza

Liczba $e$ pojawia się w funkcji wykładniczej $f(x) = e^x$, która ma wyjątkową cechę: jej pochodna jest równa samej funkcji:

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

Ta właściwość sprawia, że funkcja wykładnicza ma szerokie zastosowanie w modelowaniu zjawisk, które charakteryzują się stałą stopą wzrostu, takich jak wzrost populacji, procesy chemiczne, czy też zjawiska fizyczne.

Logarytm naturalny

Logarytm przy podstawie $e$ nazywany jest logarytmem naturalnym i oznaczany jest jako $\ln x$. Z definicji:

$$\ln e = 1 \quad \text{oraz} \quad \ln 1 = 0$$

Logarytm naturalny odgrywa kluczową rolę w rozwiązywaniu równań wykładniczych oraz w obliczeniach związanych z funkcją wykładniczą.

Zastosowania liczby $e$ w matematyce i fizyce:

• Wzrost wykładniczy: Liczba $e$ pojawia się w modelach wzrostu wykładniczego, takich jak przyrost populacji, akumulacja odsetek w finansach oraz procesy rozpadu radioaktywnego:

$$N(t) = N_0 e^{kt}$$

• Całka Gaussa: W analizie matematycznej, liczba $e$ pojawia się w obliczaniu pól powierzchni pod krzywymi Gaussa, np.:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

• Wzór Stirlinga: Przybliżenie dla silni $n!$ dla dużych wartości $n$ zawiera liczbę $e$:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Liczba $e$ jest kluczowym elementem wielu równań i wzorów, dzięki czemu odgrywa fundamentalną rolę w matematyce i naukach przyrodniczych.

Liczba pi

Liczba $\pi$ (ludolfina, stała Archimedesa) to stała matematyczna, która jest stosunkiem obwodu okręgu do jego średnicy.

$$\frac{Obwód}{Średnica}= \pi$$

• Średnica to dwukrotność promienia okręgu $d=2r$.
• Obwód okręgu: $C = 2 \pi r$
• Pole okręgu: $A = \pi r^2$

Symbol π wprowadził walijski matematyk i pisarz William Jones w monografii Synopsis Palmariorum Matheseos w 1706. π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód.

Wartość liczby $\pi$ wynosi około $3.14159265358979323846...$

Wierszyk: "Źle w mgle i snach bolejącym do progów wiedzy iść" ma tyle liter ile cyfr po przecinku w $\pi$.

Jest to liczba niewymierna, co oznacza, że nie można jej zapisać jako ułamek. Jest to również liczba transcendentalna, co oznacza, że nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Rozwinięcie dziesiętne liczby $\pi$ zaczyna się od $3.14159\ldots$ i jest nieskończone, nieokresowe. Wszystkie możliwe kombinacje cyfr występują w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\pi$.

Wzory w których występuje $\pi$:

• Obwód okręgu: $C = 2 \pi r$
• Pole okręgu: $A = \pi r^2$
• Objętość kuli $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
• $\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
• Równanie Eulera: $e^{i \pi} + 1 = 0$
• $n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ (wzór Stirlinga)
• pole powierzchni pod krzywą Gaussa: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
• W fizyce$\Delta x\Delta p\geqslant {\frac {h}{4\pi }},\quad \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {h}{4\pi }}$ (zasada nieoznaczoności Heisenberga)
• $G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności

Jednostka urojona i liczby zespolone

Jednostka urojona, oznaczana literą $i$, jest zdefiniowana jako liczba, której kwadrat wynosi $-1$. Matematycznie wyrażamy to równaniem:

$$i^2 = -1$$

Liczba $i$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat byłby ujemny. Aby poradzić sobie z równaniami, które wymagają pierwiastkowania liczb ujemnych, matematycy wprowadzili pojęcie jednostki urojonej i stworzyli liczby zespolone.

Liczby zespolone

Liczba zespolona to wyrażenie postaci:

$$z = a + bi$$

gdzie:

• $a$ to część rzeczywista liczby zespolonej,
• $b$ to część urojona liczby zespolonej,
• $i$ to jednostka urojona.

Przykład liczby zespolonej to $z = 3 + 4i$, gdzie $3$ to część rzeczywista, a $4i$ to część urojona.

Działania na liczbach zespolonych

1. Dodawanie:

   $$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

2. Mnożenie:

   $$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

   Przy mnożeniu należy pamiętać, że $i^2 = -1$, co wpływa na wynik części rzeczywistej.

3. Sprzężenie zespolone: Sprzężenie liczby zespolonej $z = a + bi$ to liczba $z^* = a - bi$. Operacja ta odwraca znak części urojonej.

Moduł liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej $z = a + bi$ to odległość tej liczby od zera na płaszczyźnie zespolonej i wyraża się wzorem:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Moduł można interpretować geometrycznie jako długość wektora reprezentującego liczbę zespoloną w układzie współrzędnych.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Liczbę zespoloną $z = a + bi$ można także zapisać w postaci trygonometrycznej:

$$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$

gdzie:

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ to moduł liczby zespolonej,
• $\theta$ to argument liczby zespolonej, czyli kąt, który wektor reprezentujący liczbę tworzy z osią rzeczywistą.

Wzór Eulera

Liczby zespolone i funkcje wykładnicze są ściśle powiązane poprzez wzór Eulera:

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

Ten elegancki wzór jest jedną z najbardziej fundamentalnych zależności w matematyce, łączącą liczby rzeczywiste, liczby zespolone oraz funkcje trygonometryczne. W szczególnym przypadku, gdy $\theta = \pi$, wzór Eulera przybiera postać:

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

Znany jako równanie Eulera, jest to jedno z najpiękniejszych i najbardziej znanych równań w matematyce, łączące pięć fundamentalnych stałych: $e$, $\pi$, $i$, 1 i 0.

Zastosowania liczb zespolonych

Liczby zespolone mają zastosowania w wielu dziedzinach, takich jak:

• Elektrotechnika: W analizie obwodów prądu zmiennego liczby zespolone są wykorzystywane do reprezentacji napięcia i prądu w postaci wektorów fazorów.
• Fizyka kwantowa: Liczby zespolone są kluczowe w opisie stanów kwantowych i fal materii.
• Inżynieria: Wykorzystywane w analizie sygnałów, przetwarzaniu obrazów i projektowaniu systemów kontrolnych.

Liczby zespolone rozszerzają świat liczb rzeczywistych i umożliwiają rozwiązanie wielu problemów, które nie mają rozwiązań w świecie rzeczywistym, co czyni je niezwykle użytecznym narzędziem w matematyce i naukach ścisłych.