Ciąg - przyporządkowanie wszystkim liczbom naturalnym z przedziału od do lub wszystkim liczbom naturalnym elementów z pewnego zbioru.
Ciąg liczbowy: - ciąg kolejnych liczb naturalnych.
Ciąg zwierząt: ń
Ciąg skończony:
Ciąg nieskończony:
czyli
Słownie: funkcja przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej jej odpowiedni wyraz ciągu .
Wzór ogólny ciągu - to reguła (funkcja), według której powstaje dany ciąg.
Uwaga: dla parzystych i dla nieparzystych.
Wzór rekurencyjny ciągu - to reguła, według której powstaje dany ciąg, w której kolejne wyrazy zależą od poprzednich.
Tabela porównawcza:
Ciąg geometryczny definiujemy jako ciąg, w którym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę (iloraz ciągu):
Iloraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:
Jeżeli oraz , to kolejne wyrazy ciągu to:
Suma wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:
Dla sumy skończonej, wzór na sumę jest:
Jeśli , suma ciągu geometrycznego rośnie w nieskończoność.
Jeśli , to suma ciągu geometrycznego dąży do:
Ciąg arytmetyczny definiujemy jako ciąg, w którym każdy wyraz powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu stałej liczby (różnica ciągu):
Różnica ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:
Suma wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:
Jeżeli , oraz , to suma wynosi:
Nauczyciel Gaussa kazał uczniom zsumować liczby od 1 do 100. Gauss niemal natychmiast podał wynik 5050. Jak to zrobił?
Rozważmy sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100:
i dodajmy do niej tę samą sumę w odwrotnej kolejności:
Możemy teraz zauważyć, że suma obu tych ciągów wynosi:
Mając
sumę tę można uogólnić dla dowolnego ciągu arytmetycznego:
gdzie to pierwszy wyraz ciągu, to -ty wyraz ciągu, a to liczba wyrazów ciągu.
Rozważmy sumę ciągu geometrycznego:
Pomnóżmy tę sumę przez iloraz ciągu :
Odejmijmy od powyższego równania pierwotne równanie sumy:
Zauważmy, że wiele wyrazów się skróci:
Zatem:
Gdy mamy niekończący się ciąg geometryczny gdzie , to suma wyrazów tego ciągu wynosi:
Suma nieskończona jest równa:
Zauważmy, że w nawiasie mamy:
A więc suma nieskończona ciągu geometrycznego wynosi:
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w którym każda liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb, zaczynając od 0 i 1:
Wzór na -ty wyraz ciągu Fibonacciego:
Pierwsze dwadzieścia wyrazów ciągu Fibonacciego to:
Ciąg został omówiony w roku 1202 przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, w dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.
Mamy wzór rekurencyjny, ale czy jest wzór ogólny na -ty wyraz ciągu Fibonacciego?
Używjąc złotej proporcji , można obliczyć -ty wyraz ciągu jako:
Liczby te zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Leonarda Eulera w XVIII wieku, który badał liczbę podziałów wielokątów na trójkąty. Zostały nazwane na cześć Eugène Charlesa Catalana, który rozważał je jako liczbę sposobów rozmieszczeń nawiasów w wyrażeniach matematycznych.
Ciąg liczb Catalana to ciąg liczb naturalnych:
Wzór na -ty wyraz ciągu Catalana:
W serialu Lost pojawia się ciąg liczb: 4, 8, 15, 16, 23, 42. Ich suma wynosi 108. Co 108 minut w serialu resetuje się stacja badawcza.
Link: https://oeis.org/A104101
Ciąg liczb pierwszych to ciąg liczb naturalnych, które są większe od 1 i mają dokładnie 2 dzielniki: 1 i samą siebie.
Wzór na -tą liczbę pierwszą:
Czasami warto skorzystać z Wolfram Alpha, aby znaleźć wzory na ciągi liczb: przykład.
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) to internetowa encyklopedia ciągów liczb całkowitych. Zawiera ponad 300 tysięcy ciągów liczb, wraz z informacjami na ich temat.
Przykłady ciągów z OEIS:
Zawiera też wartości kombinacji stałych matematycznych i fizycznych!
Dla danego nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych definiuje się -tą sumę częściową tego ciągu (lub sumę częściową szeregu) jako
Ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych.
Szeregiem nazywamy ciąg sum częściowych utworzony z wyrazów ciągu .
Jeżeli istnieje granica ciągu sum częściowych:
to liczba nazywana jest sumą szeregu. W takim przypadku mówimy, że szereg jest zbieżny.
Jeżeli taka granica nie istnieje lub jest nieskończona, to szereg jest rozbieżny i nie ma sumy właściwej.
Sumę szeregu zapisuje się symbolicznie jako
Mikołaj Oresme, (ur. około 1320, zm. 11 lipca 1382) – francuski średniowieczny filozof i katolicki biskup. Prowadził badania w zakresie matematyki, ekonomii, fizyki i astronomii. Ponadto był uznanym tłumaczem i komentatorem dzieł Arystotelesa.
Do jego osiągnięć zalicza się: tworzenie francuskiej terminologii naukowej, w matematyce – wprowadzenie potęgi w wykładniku ułamkowym i udowodnienie rozbieżności szeregu harmonicznego, w astronomii – koncepcję dobowego ruchu Ziemi, w ekonomii – pionierskie prace na temat teorii pieniądza.
Wiemy, że:
Co zrobić z bardzo podobnym wyrażeniem?
Oresme zauważył (ok 1380 AD), że możemy podzielić ciąg na grupy:
a później napisać nierówność
Prawa strona
Co ciekawe, jeśli będziemy mieć naprzemienny ciąg harmoniczny to ten jest skończony:
Zwróćmy również uwagę na tzw. funkcję zeta Riemanna:
Trwają wysiłki by znaleźć miejsc zerowe tej funkcji, ponieważ są one związane z liczbami pierwszymi. Jest to jedno z najważniejszych nierozwiązanych problemów matematycznych.
Ciekawostka: . Tak, to jest równość!
Indukcja matematyczna to metoda dowodzenia używana do wykazania prawdziwości pewnego twierdzenia dla wszystkich liczb naturalnych. Proces ten składa się z dwóch etapów:
Krok bazowy: Wykazujemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pierwszej liczby naturalnej (najczęściej ).
Krok indukcyjny: Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej (tzw. założenie indukcyjne), i wykazujemy, że jest ono prawdziwe również dla .
Jeżeli oba kroki zostaną spełnione, wówczas zgodnie z zasadą indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.
Przykład: Udowodnij, sumę sześcianów liczb naturalnych da się zapisać jako:
Lewa strona = Prawa strona, więc dla ( n = 1 ) równanie jest prawdziwe.
Zatem lewa strona = prawa strona, czyli , co oznacza, że dla równanie również jest prawdziwe.
Zakładamy, że dla pewnej liczby równanie jest prawdziwe:
Musimy wykazać, że:
Dodajemy do obu stron:
Uproszczenie:
Po dalszych przekształceniach:
Ostatecznie:
Dowód zakończony, więc twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich .