Zadanie 1: rozwiązują studenci o nazwiskach zaczynających się od liter A-K

Zadanie 2: rozwiązują studenci o nazwiskach zaczynających się od liter L-Ż

Zadania rozwiązujemy w Octave.

Treść zadań

  1. Ruch kulki w powietrzu zadany jest układem równań

        \[\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{dx}{dt} &=& v_x\\[3ex] \displaystyle \frac{dy}{dt} &=& v_y\\[3ex] \displaystyle \frac{dv_x}{dt} &=& - b v_x \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\\[3ex] \displaystyle \frac{dv_y}{dt} &=& - b v_y \sqrt{v_x^2 + v_y^2} -g \\[3ex] \end{array}\]

    gdzie g=9.81, a b jest pewnym parametrem. W chwili t=0 stan kulki opisany jest następującymi parametrami:

        \[\begin{array}{rcl} \displaystyle x(0) &=& 0\\[3ex] \displaystyle y(0) &=& 0\\[3ex] \displaystyle v_x(0) &=& 20 + N\\[3ex] \displaystyle v_y(0) &=& 20 + N \\[3ex] \end{array}\]

    gdzie N jest resztą z dzielenia numeru indeksu studenta przez 100.

    • Rozwiąż powyższe równanie dla b=0 (bardzo ciężka kulka) i b=0.002 (lekka kulka).
    • Na jednym wykresie porównaj tory lotu ciężkiej i lekkiej kulki.
    • Oszacuj (np. z wykresu), o ile bliżej spadnie lekka kulka, jeżeli podłoże jest płaskie.
    • Oszacuj, która kulka spadnie szybciej?
  2. Rozpatrzmy następujący nieliniowy, nieautonomiczny układ równań różniczkowych zwyczajnych opisujących pewien układ elektroniczny:

        \[\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{dx}{dt} &=& v\\[3ex] \displaystyle \frac{dv}{dt} &=& \mu(1-x^2)v - x+A \sin(\omega t)\]

    • Rozwiąż powyższe równanie dla A=1.2, \mu = 8.53, \omega=2\pi/10 i 0\le t \le250  z warunkiem początkowym x(0) = N/100, y(0) = 0, gdzie N jest resztą z dzielenia numeru indeksu studenta przez 100.
    • Wykonaj (dwa różne) wykresy x(t) i v(t) dla 0\le t \le 250.
    • Czy rozwiązanie ma charakter okresowy (przewidywalny) czy raczej chaotyczny (nieprzewidywalny)?
    • Porównaj wrażliwość rozwiązania na drobną zmianę warunków początkowych.

Uwagi:

  • Przypomnij sobie treść zadań i samego wykładu o równaniach różniczkowych zwyczajnych.  Być może przyda się też plik umieszczony w materiałach z ostatniego wykładu.
  • Zidentyfikuj, jakie zmienne są zmiennymi zależnymi (tj. szukanymi funkcjami); ile ich w ogóle jest?
  • Napisz funkcję Ovtave realizującą układ równań podany w Twoim zadaniu.
  • Sprawdź, że to, co napisał(a/e)ś, na pewno odpowiada treści zadania.
  • Zdefiniuj wektor zawierający wartości początkowe.
  • Upewnij się, że kolejność zmiennych w wektorze z warunkami początkowymi i w funkcji jest taka sama.
  • Zdefiniuj zmienną zawierającą chwile czasu, w których chcesz znać rozwiązanie.
  • Rozwiąż układ równań różniczkowych (jedna instrukcja w Octave).
  • Wykonaj wykres lub wykresy, zgodnie z treścią zadania.
  • Zastanów się, czy rozwiązanie jest rozsądne. W pierwszym zadaniu symulujemy rzut ukośny w ośrodku stawiającym opór, w drugim – układ elektroniczny generujący dźwięk, czasami czysty, czasami szum, ale jego amplituda musi być ograniczona.
  • Jeśli rozwiązanie nie jest rozsądne, repeat znajdź błąd, popraw untill succsess.
  • Wykonaj ostateczne wykresy (do raportu).
  • Napisz krótki raport. W (podpisanym) raporcie umieść co najmniej:
    • treść zadania i wartość parametru N
    • kod Octave rozwiązujący zadanie (to mogą być 2 pliki, jeżeli funkcję umieścisz w osobnym pliku)
    • wykresy
    • wyniki liczbowe, jeżeli są wymagane
    • kilka zdań komentarza
  • Najchętniej widziałbym ten raport na papierze; jeśli nie zdążycie go wydrukować, może być w formie elektronicznej.

Powodzenia!