1. Oblicz 1 + 2 + 4 + 8 + … + 210 . Odpowiedź uzasadnij.
    2. Ile wynosi granica ciągu

          \[a_n = \frac{n^3 + 2n^2 +3n + 4}{4 - 3n + 2n^2 - n^3}.\]

      Odpowiedź uzasadnij.

    3. Ile wynosi suma szeregu

          \[1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots\]

    4. Czemu równe są granice

          \[\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]

      oraz

          \[\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.\]

    5. Podaj przykład ciągu mającego granicę niewłaściwą.
    6. W jakim przypadku znajomość granicy dwóch ciągów (an) i (bn) nie wystarcza do stwierdzenia istnienia i ewentualnej wartości granicy ciągu (an/bn)?.
    7. Do czego w Octave służą polecenia:
      • plot
      • semilogx
      • semilogy
      • loglog
    8. Jeśli f(x) = 1/x, x\neq 0, to f^{-1}(x) = \ldots [lub podobny, prosty problem]
    9. Jak narysować wykres funkcji odwrotnej do funkcji y(x), mając wykres y(x)?
    10. Jeżeli f(x)=x^2, to superpozycja f z samą sobą, (f\circ f)(x) = \ldots
    11. (f\circ f^{-1})(x) = \ldots
    12. Podaj funkcję odwrotną do y(x) = \exp(x)
    13. Podaj funkcję odwrotną do y(x) = x^2
    14. O wielomianie w(x) wiadomo, że jego wyraz wiodący ma postać x^5, a jego pierwiastkami są 1, 2, 3, 4 i 5. Co to za wielomian?
    15. Który z poniższych wielomianów na pewno ma pierwiastek rzeczywisty:
      • Dowolny wielomian 3. stopnia
      • Dowolny wielomian 6. stopnia
      • Dowolny wielomian 2015. stopnia
        (odpowiedź uzasadnij)
    16. Jaki wielomian definiuje w Octave instrukcja: 
      >> w = [3, -2, 0, 1];
    17. Czy funkcja, której wykres przedstawia poniższy rysunek

      • ma granicę lewostronną w x_0?
      • ma granicę prawostronną w x_0?
      • jest ciągła lewostronnie w x_0?
      • jest ciągła prawostronnie w x_0?
      • jest ciągła w x_0?
    18. Czy funkcja y(x) = (2x-1)/(x+2), której wykres przedstawia poniższy rysunek

      • ma w punkcie x = -2 granicę prawostronną, właściwą lub nie?
      • ma w punkcie x = -2 granicę lewostronną, właściwą lub nie?
      • jest w punkcie x = -2 lewostronnie lub prawostronnie ciągła?
      • jest w punkcie x = -2 ciągła?
      • jest ciągła na odcinku [1,2]?
      • jest ciągła na odcinku [-3, 0]?
    19. O pewnym wielomianie W wiadomo, że W(0) = 4 i W(2) = -3. Czy ten wielomian musi mieć pierwiastek? Dlaczego?
    20. Skoro \sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - \ldots, to ile wynosi

          \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]

    21. Skoro \ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - \ldots, to ile wynosi

          \[\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}\]

    22. Co to jest szereg Taylora?
    23. Podaj wzór na szereg Taylora dla funkcji y(x) = \exp (x).
    24. WAŻNE! Wykaż (na przykładach), że potrafisz liczyć pochodne funkcji jednej zmiennej, w tym:
      • znasz pochodne elementarnych funkcji elementarnych (x^\alpha, \exp(x), \sin x, \ln x, \cos x)
      • potrafisz posługiwać się wzorami na pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji
      • potrafisz posługiwać się wzorem na pochodną funkcji złożonej.
    25. Jaki jest związek pochodnej funkcji różniczkowalnej z zagadnieniem znajdowania minimów i maksimów lokalnych takich funkcji?
    26. Korzystając z reguły d’Hospitala znajdź granice niewłaściwe
      1. \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}
      2. \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2}
      3. \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{{\sqrt{1+x}-1}}{x}
    27. Funkcję specjalną (tzw. funkcję błędu)  \mathop{\mathrm{erf}}(x) definiuje się jako całkę

          \[\displaystyle \mathop{\mathrm{erf}}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}\, \mathrm{d}t.\]

      Oblicz pochodną tej funkcji, czyli

          \[\frac{d}{dx} \mathop{\mathrm{erf}}(x)\]

    28. Jaki jest związek całki z polem powierzchni pod funkcją?
    29. Podaj przykład całki niewłaściwej.
    30. Ile wynosi całka z elementarnych funkcji elementarnych: x^\alpha, 1/x, \exp x, \sin x, \cos x.
    31. Dlaczego wzory na całki nieoznaczone podaje się w postaci f(x) + C?
    32. Jaki jest (fundamentalny) związek między całką nieznaczoną i całką oznaczoną?
    33. Skąd wiadomo, że równanie różniczkowe \displaystyle \frac{dx}{dt} = \sin(xt) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnego warunku początkowego?
    34. Skąd wiadomo, że równanie różniczkowe \displaystyle \frac{dy}{dt} = \sqrt{y-1} dla pewnych warunków początkowych może nie mieć rozwiązań lub mieć ich więcej niż 1?
    35. Co to jest pole kierunków (ang. slope field) równia różniczkowego? Do czego służy?
    36. W jaki sposób postępuje się, rozwiązując równania różniczkowe zwyczajne rzędu większego niż 1?
    37. Co to jest orbita, atraktor, przyciągający punkt stały równania różniczkowego zwyczajnego?
    38. Do czego w Octave służy polecenie lsode? Jakie przyjmuje parametry? Jaki jest sens tych parametrów?
    39. Oblicz \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} oraz \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} dla
      1.  f(x,y) = x^2 + y
      2.  f(x,y) = \ln(xy)
      3.  \displaystyle f(x,y) = \frac{x}{y}
      4. \displaystyle f(x,y) = \frac{ax}{y} +b, gdzie a i b to stałe parametry.