Wykład

Prezentacja

Wzory fundamentalne

funkcja całka funkcji
\displaystyle x^\alpha, \alpha \neq -1 \displaystyle \frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1} + C
\displaystyle \frac{1}{x} \ln x + C
\exp x \exp x + C
\sin x -\cos x + C
\cos x \sin x + C
Tabela 1.  Całki funkcji elementarnych
 wzór  komentarz
 \displaystyle \int\left[ \alpha f(x) + \beta g(x) \right]\, dx = \alpha \int f(x)\, dx + \beta \int g(x)\, dx liniowość
\displaystyle \int f\,dg = f\cdot g - \int g\, df całkowanie przez części
\displaystyle \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f( g(x)) \, dg(x) =\int f(y) \, dy całkowanie przez zamianę zmiennych, x\to y=g(x)
\displaystyle F(x) = \int f(x')\, dx' \implies \int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a) związek całki oznaczonej z nieoznaczoną
\displaystyle \int f'(z)\, dz = f(x) + C całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania
\displaystyle \left( \int f(z)\, dz \right)' = f(x) różniczkowanie jest operacją odwrotną do całkowania
Tabela 2. Podstawowe wzory rachunku całkowego

Quiz

  1. Załóżmy, że znasz prędkość v(t) pewnego obiektu w każdej chwili t oraz jego położenie w chwili t=0 i chcesz wyznaczyć jego położenie w dowolnej chwili t, s(t). Czy skorzystasz z całek czy pochodnych?
  2. Załóżmy, że znasz położenie s(t) pewnego obiektu w każdej chwili t i chcesz wyznaczyć jego prędkość w dowolnej chwili t, v(t). Użyjesz całek czy pochodnych?
  3. Niech f(x) będzie pewną ciągłą i różniczkowalną funkcją. Uprość następujące całki:
    1. \displaystyle \int \, df
    2. \displaystyle \int \frac{df}{dx}\, dx
    3. \displaystyle \int f'(x) \, dx
  4. Funkcję specjalną (tzw. funkcję błędu)  \mathop{\mathrm{erf}}(x) definiuje się jako całkę

        \[\displaystyle \mathop{\mathrm{erf}}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}\, \mathrm{d}t.\]

    Oblicz pochodną tej funkcji, czyli

        \[\frac{d}{dx} \mathop{\mathrm{erf}}(x)\]

  5. W całce

        \[\displaystyle I = \int 3\exp(3x-1)\, dx\]

    chcemy zastosować podstawienie t=3x-1.

    1. Wyznacz zależność między d x i dt;
    2. Podaj postać całki I jako całki zmiennej t;
    3. Rozwiąż całkę I w zmiennej t;
    4. Wyraź rozwiązanie jako funkcję oryginalnej zmiennej x.
  6. Ćwiczenie z terminologii: które z poniższych całek są całkami nieoznaczonymi, które – oznaczonymi, a które są całkami właściwymi, a które – niewłaściwymi:
    1. \displaystyle \int_0^\infty \exp(-x^2)\, dx
    2. \displaystyle \int x^2 \, dx
    3. \displaystyle \int_0^z \, dx
    4. \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx
    5. \displaystyle \int_{-2}^2 \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} \, dx
  7. Pole koła, objętość kuli. Obejrzyj film umieszczony na stronie https://www.youtube.com/watch?v=whYqhpc6S6g. Jak widać, koło o promieniu R można traktować jak sumę pierścieni o promieniach r biegnących od 0 do R, każdy o polu powierzchni 2\pi r \cdot \Delta r. Prowadzi to do wniosku, że pole koła o promieniu R można wyrazić za pomocy całki

        \[S(R) = \int_0^R 2\pi r\, dr\]

    .
    Analogicznie kulę o promieniu R można rozpatrywać jako sumę sfer o powierzchni 4\pi r^2 i grubości \Delta r, gdzie 0 \le r \le R. Wynika stąd, że

        \[V(R) = \int_0^R 4\pi r^2\, dr\]

    Wyznacz wartości powyższych całek i wyprowadź w ten sposób wzory na pole koła i objętość kuli,

  8. (*) Oblicz

        \[\displaystyle I = \int x\exp(x)\, dx.\]

    W tym celu:

    1. Oblicz d \exp( x)
    2. Wykaż, że \displaystyle \int x\exp(x)\, dx = \int x\, d(\exp x)
    3. Stosując metodę całkowania przez części wykaż, że I = x\exp(x) - \int \exp(x) \, dx
    4. Wyprowadź stąd wzór na I.

Zadania

  1. Wyznacz całki nieoznaczone z mojego starego podręcznika do analizy matematycznej:
    1. \displaystyle \int (3-5x)\sqrt{x} \, dx
    2. \displaystyle \int x^3\cos(x) \, dx
    3. \displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 x}\, dx
  2. Wyznacz całki nieoznaczone, których w normalnym kursie analizy matematycznej nie uświadczysz, gdyż rozwiązania nie są funkcjami elementarnymi:
    1. \displaystyle \int x^2 \exp\left(-x^2\right) \,dx
    2. \displaystyle \int \sqrt{t}\exp(-t)\,dt
  3. Oblicz
    1. \displaystyle \int_0^\pi \sin(x) \,dx
    2. \displaystyle \int_0^\infty \exp(-x^2) \,dx
  4. Korzystając z Octave, wyznacz wartości całki Fresnela

        \[S(x) = \int_0^x \sin(t^2)\, dt\]

    dla x=0,0.5, 1, 10, 100. Porównaj wyniki uzyskane w Octave z wynikami otrzymanymi w WolframAlpha

  5. Korzystając z Octave, wyznacz wartość całki

        \[\int_0^\infty \frac{\sin(t^2)}{t}\, dt\]

    1. Wypróbuj kilka metod Octave, np. quad, quadl, quadv, quadgk i quadcc.
    2. Porównaj wynik z tym, jaki podaje Wolfram Alpha
    3. Sprawdź, jakie oszacowanie wielkości niepewności wartości całki zwraca ta metoda Octave, która zwraca jakikolwiek wynik.
  6. Aby zrozumieć, dlaczego Octave ma kłopoty z powyższą całką, jeśli granica całkowania dąży do nieskończoności, wykonaj wykres funkcji f(x) = \frac{\sin(t^2)}{t} oraz funkcji

        \[S_1(x) = \int_0^x \frac{\sin(t^2)}{t}\, dt\]

    f = @(x) (sin (x .^ 2) ./ x)
x = 1e-8:0.0001:10; # lub: x = linspace(1e-8, 10, 100000);
z = cumtrapz(x, f(x));
plot (x, f(x), "b;funkcja;")
hold on
plot (x, z, "r;calka;")
ylim([-0.5,1]);
hold off;

    Uwaga. Akurat dla tej całki z samego rysunku można oszacować jej wartość graniczną z przyzwoitą dokładnością 3 cyfr znaczących. Powyższy przykład ilustruje, dlaczego całki niewłaściwe są szczególnie trudne. Gdyby górna granica całkowania była nie większa niż ok. 25, bezpośrednie metody numeryczne sprawowałyby się znakomicie. Powyżej tej wartości trzeba dzielić przedział całkowania na mniejsze odcinki, by ograniczyć liczbę oscylacji funkcji. Dla jeszcze większych górnych granic całki trzeba sprytu, np. próbować zmienić postać funkcji podcałkowej poprzez zamianę zmiennych lub całkowanie przez części (tak robi Wolfram Alpha), obliczyć całkę zupełnie inną metodą, np. poprzez całkowanie odpowiedniego szeregu potęgowego lub w inny sposób przekształcić problem do postaci bardziej użytecznej w metodach numerycznych.