PDE (ang. Partial Differential Equations) to angielski skrótowiec oznaczający „równania różniczkowe cząstkowe”.

Wykład

Prezentacja

Khan Academy

Quiz

  1.  Oblicz \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} oraz \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} dla
    1.  f(x,y) = x^2 + y
    2.  f(x,y) = \ln(xy)
    3.  \displaystyle f(x,y) = \frac{x}{y}
  2. Niech a(x,y,t) = x\exp(-\omega(x+y)t), gdzie \omega jest pewnym parametrem. Oblicz
    1.  \displaystyle \frac{\partial a}{\partial x}
    2.  \displaystyle \frac{\partial a}{\partial y}
    3.  \displaystyle \frac{\partial a}{\partial t}
  3. Symbol \partial używany bywa na oznaczenie brzegu jakiegoś obszaru. Co oznacza
    1. \partial V, jeżeli V jest kulą o promieniu 1 i środku w (0,0,0) (figura przestrzenna)?
    2. \partial S, jeżeli S jest kwadratem o boku 2 i środku w (0,0) (figura płaska)?
  4. Podaj wartość dowolnego (niezerowego) wektora prostopadłego do
    1. prostej 3x - 4y = 9
    2. prostej y = 2x - 1
    3. płaszczyzny 3x+2y+z=1
    4. płaszczyzny z=x+y
  5. Podaj wartość wektora normalnego do płaszczyzny x+2y +2z = 0 (zwrot dowolny).
  6. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do paraboloidy z(x,y)=x^2+2y^2 w punkcie x=1,y=1,z=3.
  7. Wyznacz kierunek wektora prostopadłego do paraboloidy z=x^2+2y^2 w punkcie x=1,y=1,z=3.
  8. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji z(x,y) = 2-x^2-y^2-x.

    Gdzie znajduje się maksimum tej funkcji? Aby odpowiedzieć na to pytanie:

    1. Zastanów się, czy płaszczyzna styczna do wykresu funkcji w jej punkcie ekstremalnym musi być równoległa do płaszczyzny x-y (czyli prostopadła do osi z)?
    2. Jak wygląda postać ogólnego równania płaszczyzny prostopadłej do osi z?
    3. Korzystając z faktu, że równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji różniczkowalnej f ma postać \displaystyle z-z_0 = \frac{\partial f}{\partial x} (x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (y-y_0), a wektor prostopadły do tej płaszczyzny ma postać (-\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1), wykaż, że w punkcie ekstremalnym zachodzi

          \[\frac{\partial f}{\partial x} = 0, \frac{\partial f}{\partial y} = 0.\]

    4. Korzystając z powyższego wzoru znajdź położenie maksimum tej funkcji.
  9. Korzystając z prawa Ohma, \displaystyle R=U/I, wyznacz opór elektryczny R i oszacuj błąd pomiaru tej wielkości, jeżeli U=10.0 V, \Delta U = 0.1 V, I = 5 A, a \Delta I = 0.05 A.
  10. Czy na mapie konturowej obszary, w których poziomice się do siebie zbliżają, charakteryzują się dużym czy małym gradientem wzniesienia terenu?
  11. W jaki sposób oszacować  na mapie konturowej kierunek nachylenia terenu?
  12. Temperatura metalowego pręta ma postać T(x) = 120 + 0.1x, 0\le x \le 100, gdzie x jest odległością od początku pręta w centymetrach, a T – temperaturą w stopniach Celsjusza. Ile wynosi gradient temperatury? W którą stronę płynie ciepło?
  13. Dlaczego zaleca się, by ściany budynków ocieplać od zewnątrz a nie od wewnątrz? Wskazówka: Załóż, że gradient temperatury w ścianie i w ociepleniu jest stały, ale oczywiście w ścianie większy niż w warstwie ocieplenia. Zauważ, że niska temperatura na styku ocieplenia ze ścianą może prowadzić do skraplania się pary wodnej i rozwoju grzybów; może też prowadzić do przemarzania zawilgoconej ściany.
  14. Typowy gradient temperatury w skorupie ziemskiej w Polsce wynosi ok. 33°C/km.
    1. Oszacuj temperaturę panującą na dole odwiertu o głębokości 3 km służącego do eksploatacji złóż gazu łupkowego.
    2. Jaka temperatura panowałaby w takim odwiercie wykonanym w Islandii, gdzie gradient temperatury wynosi ok. 100°C/km?
  15. (*) Zajrzyj na stronę Wikipedii Operator nabla w różnych układach współrzędnych. W zamieszczonej tam tabeli odnajdź postać gradientu we współrzędnych sferycznych. Na tej podstawie zdecyduj, czy do wyznaczenia gradientu temperatury (T) wewnątrz Słońca potrzeba stosować jakieś specjalne przeliczniki/współczynniki/wagi, czy też można po prostu wyznaczyć \displaystyle \partial T(r)/\partial r.
  16. Temperatura jądra Słońca szacowana jest na 1,6 ×107 K, a temperatura jego fotosfery („powierzchni”)  to ok. 5800 K. Wiedząc, że promień Słońca to ok. 700 000 km, oszacuj gradient temperatury w Słońcu. W jakim kierunku płynie ciepło?
  17. Obrazek po lewej przedstawia rozkład ciśnienia (mapę konturową) w strefie pomiędzy Wyżem Północnorosyjskim (H) i Niżem Islandzkim (L) w styczniu 2006 r.
    1. W jakim kraju wiało najbardziej?
    2. Jak przebiegał gradient ciśnienia i czy w układach tego typu wiatr wieje zgodnie z kierunkiem \nabla P  – por. rysunek po prawej, ilustrujący cyklon (układ niskiego ciśnienia) nad Islandią 4 września 2003? Wskazówka: wskaż kilka innych przykładów, gdy prędkość jakiegoś obiektu nie jest równoległa do działającej nań siły.
  18. Czy wektory (1,2,5) i (-5,5,-1) są do siebie prostopadłe?
  19. W kuchenkach indukcyjnych „przemiana energii elektrycznej na cieplną zachodzi w dnie naczynia w wyniku indukowania prądów wirowych oraz nagrzewania ferromagnetyków przez zjawisko histerezy magnetycznej” (Wikipedia). Uwzględniając postać jednego z praw Maxwella (zwanego też prawem Faradaya),

        \[\displaystyle \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\mathbf{\nabla}\times \mathbf{E}\]

    spróbuj się domyślić, czy używane w kuchenkach indukcyjnych pole magnetyczne jest polem stałym (f=0), wolnozmiennym (f \approx 50-100 Hz) czy szybkozmiennym (f\approx 20-50 kHz)?

  20. (*) Przyporządkuj równaniom odpowiedni opis:
    1.     \displaystyle \vec\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}}
    2.     \displaystyle \vec\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} +\mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial {t}}
    3.     \displaystyle \varepsilon \vec\nabla \cdot \vec{E} = \rho
    4.     \displaystyle \vec\nabla \cdot \vec{B} = 0
    5.     \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T
    6.     \displaystyle \vec{\nabla } \cdot \vec{u} =0
    7.     \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} = \vec\nabla \cdot \left(\rho \vec{u}\right)}
      Opisy równań:
      A) Prawo zachowania masy (dynamika płynów)
      B) Źródłem pola elektrycznego są ładunki elektryczne
      C) Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne
      D) Nie istnieją ładunki magnetyczne
      E) Prędkość zmiany temperatury jest proporcjonalna do nadwyżki średniej temperatury w otoczeniu danego punktu względem temperatury w tym punkcie
      F) Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne
      G) Przepływ jest nieściśliwy

Zadania

Niespodzianka – nie ma zadań!