Wykład

Prezentacja

Quiz

Quiz zawiera pytania, na które odpowiedź powinno się umieć podać z głowy.

  1. Ciąg arytmetyczny składa się z 200 elementów. Pierwszy z nich ma wartość -10, a wartością ostatniego jest 60. Ile wynosi suma tego ciągu?
  2. 1 + 2 + 4 + 8 + … + 210 =    ???
  3. Do czego w Octave służą polecenia:
    • cumsum
    • diff
    • plot
    • semilogx
    • semilogy
    • loglog
  4. Jak w konwencji sumacyjnej Einsteina wygląda zapis:
    • iloczynu skalarnego dwóch wektorów, tj.

          \[\sum_{j=1}^{3} a_j b_j\]

    • energii kinetycznej, tj.

          \[\sum_{j=1}^{3} \frac{v_j v_j}{2}\]

  5. Uwzględniając odpowiedzi na poprzednie pytanie zinterpretuj znaczenie równania (9) na stronie http://www.cfd-online.com/Wiki/Navier-Stokes_equations.
  6. Ile wynosi granica ciągu

        \[a_n = \frac{n^3 + 2n^2 +3n + 4}{4 - 3n + 2n^2 - n^3}.\]

  7. Czy granica ciągu o elementach wymiernych może być niewymierna?
  8. Jak za pomocą pojęcia granicy ciągów oraz zbioru liczb wymiernych skonstruować zbiór liczb rzeczywistych?
  9. Ile wynosi suma szeregu

        \[1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots\]

  10. Czemu równe są granice

        \[\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]

    oraz

        \[\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.\]

  11. Podaj przykład ciągu mającego granicę niewłaściwą.
  12. W jakim przypadku znajomość granicy dwóch ciągów (an) i (bn) nie wystarcza do stwierdzenia istnienia i ewentualnej wartości granicy ciągu (an/bn)?.
  13. Spójrz na stronę w angielskiej Wikipedii poświęconą wykresom półlogarytmicznym (ang. semi-log plots).
    • Dlaczego do sporządzenia zamieszczonego tam wykresu fazowego wody użyto wykresu półlogarytmicznego typu lin-log?
    • Dlaczego do schematycznego zilustrowania zależności liczebności kultury bakterii od czasu również posłużono się wykresem półogarytmicznym typu lin-log? Czy istnieje związek pomiędzy nazwą drugiej fazy wzrostu, exponential phase, a kształtem wykresu w odpowiadającym jej obszarze?

Zadania

    1. Wyznacz sumy skończone:
      • \displaystyle \sum_{k=1}^{100} k^2
      • \displaystyle \frac{4}{N}\sum_{k=1}^{N} \sqrt{1-\frac{k^2}{N^2}}, \quad \mbox{ dla } N = 10000
        Uwaga. Powyższe wyrażenie z całkiem niezłą dokładnością przybliża pole koła o promieniu 1.
    2. Znajdź następujące sumy nieskończone:
      • \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^k
      • \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-1}
      • \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k-1}
      • \displaystyle \sum_{k=0}^\infty k \cdot a^{-k}, \quad |a| > 1
      • \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{2k+1}{(2k)!}
    3. Wyznacz granice:
      • \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}, \mbox{gdzie } a >0.
      • \displaystyle \lim_{n\to\infty} (1/n)^{1/n}
      • \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n!\cdot e^n}{n^{n+1/2}}}
    4. Na podstawie wartości ostatniej z powyższych granic zaproponuj przybliżony wzór na n!.
    5. Wyznacz granicę niewłaściwą \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n^n}{3^n}
    6. Na wykładzie omówiłem następujący program: 
      n = 1:1000;
y = abs(sin(1./n)./(1./n) - 1);
plot (y, "+;lin-lin;");
xlim([0,20]);
pause (2);

semilogx(y, "+;log-lin;");
pause(2);

semilogy(y, "+;lin-log;");
pause(2);

loglog(y, "+;log-log;");
pause(2);

loglog(n, y, "+;log-log;",  n, 1./n.^2, ";1/n^2;");
pause(2);

loglog(n, y, "+;log-log;",  n, 1./n.^2/6, "r;1/6n^2;");
        • Uruchom ten program.
        • Wykresy jakiego ciągu są przezeń wyświetlane?
        • Zmodyfikuj go tak, by można było za jego pomocą określić szybkość zbieżności ciągu a_n = 2^{1/n} do granicy (równej 1).
    7. Poniższy program (Octave) wyznacza kilka pierwszych elementów ciągu Viete’a, który jest zbieżny do 2/π, i na tej podstawie wyświetla kolejne przybliżenia liczby π: 
      N = 10;
x = zeros(1,N);
x(1) = sqrt(2);
for i = 1:(N-1)
  x(i+1) = sqrt(2 + x(i));
  wynik = 2 * 2^i/prod (x(1:i));
  disp ([i, wynik, pi - wynik]);
endfor
      • Uruchom ten program.
      • Oszacuj prędkość zbieżności tego algorytmu jako algorytmu wyznaczania wartości liczby π.
      • Przy jakiej dokładności wyznaczenia liczby π dokładność uzyskiwana w Octave zaczyna odbiegać od wyników, jakich można się spodziewać na podstawie tempa zbieżności ciągu dla kilkunastu pierwszych wyrazów?
      • Zapoznaj się z wpisem Espilon maszynowy na Wikipedii.
    8. (*) Oszacuj prędkość rozbieżności szeregu harmonicznego, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …