Wykład

Prezentacja

Quiz

Quiz zawiera pytania, na które odpowiedź powinno się umieć podać z głowy.

  1. Na typowym wykresie y-x (współrzędne kartezjańskie) zmienną niezależną umieszcza się zwyczajowo na osi poziomej czy pionowej?
  2. Jeżeli f oznacza funkcję, to f^{-1} oznacza 1/f czy funkcję odwrotną do f?
  3. Jeśli f(x) = x, to f^{-1}(x) = \ldots
  4. Jeśli f(x) = -x, to f^{-1}(x) = \ldots
  5. Jeśli f(x) = 1/x, x\neq 0, to f^{-1}(x) = \ldots
  6. Wykres funkcji odwrotnej do y(x) otrzymujemy, odbijając go względem prostej y=\ldots
  7. Jeżeli f(x)=x^2, to superpozycja f z samą sobą, (f\circ f)(x) = \ldots
  8. (f\circ f^{-1})(x) = \ldots
  9. Niech w(x) = 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 -2x -1
    • w(0) =\ldots
    • w(1) =\ldots
    • Wyraz wolny tego wielomianu wynosi…
    • Stopień tego wielomianu wynosi…
    • Współczynnik liniowy równy jest w tym przypadku…
  10. O wielomianie w(x) wiadomo, że jego wyraz wiodący ma postać x^5, a jego pierwiastkami są 1, 2, 3, 4 i 5. Co to za wielomian?
  11. Faktoryzacja to przekształcenie wyrażenia do postaci iloczynu czy sumy?
  12. Czy różnica dwóch wielomianów stopnia n (np. 2) może być wielomianem niższego stopnia niż n?
  13. Czy suma dwóch wielomianów stopnia n (np. 2) może być wielomianem niższego stopnia niż n?
  14. Który z poniższych wielomianów na pewno ma pierwiastek rzeczywisty:
    • Dowolny wielomian 3. stopnia
    • Dowolny wielomian 6. stopnia
    • Dowolny wielomian 2015 stopnia.
  15. Jaki wielomian definiuje w Octave instrukcja: 
    >> w = [3, -2, 0, 1];

Zadania

  1. Zdefiniuj w Octave dwa wielomiany, w(x) = x^2 -3x+1 oraz y(x) = x^3 + x -1. Następnie:
    1. Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste w(x)
    2. Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste y(x)
    3. Wyznacz iloczyn u(x) = w(x)\cdot y(x)
    4. Czy w(x)\cdot y(x) = y(x) \cdot w(x)?
    5. Jak stopień u(x) ma się do stopni w(x) i y(x)?
    6. Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste u(x) i porównaj je z pierwiastkami rzeczywistymi w(x) oraz y(x).
    7. Czy odpowiedzi na pytania d-f mają, Twoim zdaniem, charakter uniwersalny?
    8. Narysuj wykres y(x) dla -1\le x \le 2.
    9. Wykonaj ciąg powiększeń wykresu w pobliżu jego miejsca zerowego. Czy w kolejnych powiększeniach wykres zaczyna przypominać fragment linii prostej?
  2.  Wykres funkcji y=x^2 dla -2 \le x \le2 można w Octave utworzyć następująco: 
    N = 100;
x = linspace(-2, 2, N);
y = x .* x;
plot(x, y);

    W jaki sposób, mając x i y, wygenerować wykres „funkcji odwrotnej” (i dlaczego w poleceniu użyłem cudzysłowu)?

  3. Za pomocą metody z poprzedniego zadania:
    • narysuj wykres funkcji odwrotnej do y(x) = 10^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej y(x) = log10(x)
    • narysuj wykres funkcji odwrotnej do y(x) = e^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej y(x) = log(x) (W Octave log(x) oznacza logarytm naturalny z x)
    • narysuj wykres funkcji odwrotnej do y(x) = 3^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej y(x) = log(x)/log(3). Czy pamiętasz jeszcze wzór na zamianę podstawy logarytmów?
  4. W Octave istnieje możliwość definiowania funkcji anonimowych – w pojedynczym wierszu, bez pomocy słów kluczowych function i endfunction. Służy do tego operator @. Na przykład, aby zdefiniować funkcję f(x) = 2x + 1 oraz g(x) = x^2-1, można posłużyć się dwoma instrukcjami: 
    f = @(x)  2 * x + 1;
g = @(x)  x .* x - 1;

    Skorzystaj z powyższego przykładu, by wyświetlić na jednym rysunku wykresy funkcji f\circ f, f\circ g, g\circ f i g\circ g dla -2\le x \le 2.

  5. Poniższy kod generuje wykres okręgu o promieniu 1: 
    N = 60;
f = @(x) sqrt(1 - x.* x);
x  = linspace(-1, 1, N);
x0 = linspace(1, -1, N);
y = [f(x), -f(x0)];
x = [x, x0];
plot (x, y, "+-");
axis("equal");

    Kod ten ma pewną wadę: punkty nie układają się równomiernie na okręgu, co prowadzi do zniekształcenia kształtu okręgu w okolicach osi x, por. rysunek po lewej:

      • Do czego służą nawiasy kwadratowe w instrukcji x = [x, x0]; ?
      • Zaproponuj inny sposób narysowania okręgu, który będzie gwarantował równomierny rozkład punktów, jak na rysunku po prawej. Jako zmiennej niezależnej możesz użyć kąta \varphi oraz podstawień x = \cos(\varphi) i y=\sin(\varphi).

    Uwaga: zwróć uwagę na to, że w powyższy sposób można w Octave rysować szersze klasy obiektów niż wykresy funkcji.

  6. (*) Niech x = [9, 4, 11, 36, 85, 164, 279, 436, 641, 900]. Wyrazy tego ciągu zostały wygenerowane za pomocą pewnego wielomianu niewielkiego stopnia, tj. x_n = f(n) dla n=1,2,\ldots,10, przy czym f(n) jest wielomianem zmiennej n. Pytanie brzmi: jaki to wielomian? Aby na nie odpowiedzieć
    • zapoznaj się z dokumentacją funkcji polyfit.
    • wykonaj odpowiednie obliczenia, używając polyfit.