Wykład
Quiz
- Znajdź błąd w następującym rozumowaniu:
- Jeżeli funkcja ciągła przyjmuje w punktach a i b wartości f(a) i f(b), to przyjmuje też wszystkie wartości pomiędzy f(a) i f(b).
- Funkcja
jest funkcją elementarną, a więc jest funkcją ciągłą; ponadto y(-1) = -1 oraz y(1) = 1.
- Łącząc powyższe fakty dochodzimy do wniosku, że musi istnieć liczba
taka, że
.
- Czy funkcja, której wykres przedstawia poniższy rysunek
- ma granicę lewostronną w
?
- ma granicę prawostronną w
?
- jest ciągła lewostronnie w
?
- jest ciągła prawostronnie w
?
- jest ciągła w
?
- ma granicę lewostronną w
- Czy funkcja
, której wykres przedstawia poniższy rysunek
- ma w punkcie x = -2 granicę prawostronną, właściwą lub nie?
- ma w punkcie x = -2 granicę lewostronną, właściwą lub nie?
- jest w punkcie x = -2 lewostronnie lub prawostronnie ciągła?
- jest w punkcie x = -2 ciągła?
- jest ciągła na odcinku [1,2]?
- jest ciągła na odcinku [-3, 0]?
- Na podstawie wykresu funkcji z poprzedniego pytania odpowiedz na następujące pytania:
- Czy funkcja ta ma funkcję odwrotną?
- Jeśli tak, to jaka jest jej dziedzina?
- Czy ta funkcja odwrotna jest w swej dziedzinie ciągła?
- O pewnym wielomianie
wiadomo, że
i
. Czy ten wielomian musi mieć pierwiastek?
- Skoro
, to ile wynosi
- Skoro
, to ile wynosi
- Skoro
, to ile wynosi
Zadania
- Jak już wiesz,
, natomiast
. Niech
będzie wielomianem, który powstaje z powyższego szeregu dla
po odrzuceniu wyrazów w potędze wyższej niż 5. Podobnie niech c(x) będzie wielomianem, który powstaje z szeregu dla
po odrzuceniu wyrazów wyższego stopnia niż 5.
- Utwórz iloczyn
, który powinien w przybliżeniu równać się
, czyli mieć wartość 1. Uwaga. jeżeli używasz Octave i polecenia
conv
, to pamiętaj, że oba wielomiany muszą mieć dokładnie ten sam stopień. - Sprawdź, że wyraz wolny
faktycznie równa się 1, a wszystkie pozostałe jego wyrazy stopnia ≤ 5 równe są 0.
- Sprawdź, jakie wartości ma
dla
x = linspace(0, pi, 8)
.
- Utwórz iloczyn
- Niech
x = 0:0.1:3
iy = exp(x)
(Octave).- Za pomocą polecenia
polyfit
dopasuj do (x,y) wielomiany stopnia od 1 do 5. Czy współczynniki tych wielomianów w wyrazach o potędze ≤ 3 dążą do współczynników wielomianu uzyskanego z rozwinięciaw szereg względem 0, tj.
?
Wskazówka. Szybka komenda do wyświetlenia jednego z tych wielomianów:polyout(polyfit(x, y, 1));
- Wyświetl
oraz kolejne wielomiany aproksymacyjne otrzymane w poprzednim punkcie. Czy wykresy wielomianów wyższych stopni coraz lepiej odpowiadają aproksymowanej funkcji na zadanym przedziale?
Wskazówka:plot(x, polyval(polyfit(x, yy, 1), x), "+", x, y);
- Za pomocą polecenia