Wykład

Prezentacja

Wzory fundamentalne

funkcja pochodna funkcji przykład
x^\alpha \alpha x^{\alpha-1} (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2}
\exp x \exp x (\exp 2x)' = 2 \exp 2x
\ln x \displaystyle \frac{1}{x} \displaystyle (\ln 2x)' = \frac{1}{x}
\sin x \cos x (\sin 3x)' = 3 \cos 3x
\cos x -\sin x (\cos \frac12 x)' = -\frac12 \sin \frac12 x
Tabela 1.  Pochodne funkcji elementarnych
 wyrażenie pochodna  przykład
 \alpha f(x) + \beta g(x)   \alpha f'(x) + \beta g'(x)  (3x-5\sin x)'= 3-5 \cos x
 f(x) g(x)   f'(x) g(x)+ f(x) g'(x)  (x\exp x)' = \exp x + x \exp x
 \displaystyle\frac{1}{g(x)}   \displaystyle\frac{-g'(x)}{g^2(x)}  \displaystyle \left( \frac{1}{x^2}\right)'=\frac{-2x}{x^4}=\frac{-2}{x^3}
 \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}  \displaystyle\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}   \displaystyle\left( \frac{x}{\exp x}\right)' = \frac{\exp x - x \exp x}{\exp 2x} = \frac{1 - x}{\exp x}
 f(g(x))   f'(g(x))\cdot g'(x)  (\sin x^2)'= 2x\cos x^2
f^{-1}(x) \displaystyle \frac{1}{f'(x)} \displaystyle y=x^2, x=\sqrt{y} \implies y'=2x, x'=\frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{y}}
Tabela 2. Podstawowe wzory na pochodne funkcji złożonych

Quiz

Ten Quiz rozwiązujemy w głowie, na tablicy lub na kartce papieru.

    1. Oblicz funkcje pochodne następujących funkcji:
      1. y(x) = -3x+3
      2. y(x) = \pi x + \sin(1)
      3. y(x) = \sin(2)
      4. y(x) = x^7
      5. y(x) = 2x^3 - 3x^2 + 8x - 9
      6. y(x) = ax^2 + 2ax + a
      7. y(x) = 6 x^{1/3}
      8. y(x) = x^{\pi}
      9. y(x) = \sqrt{x}
      10. y(x) = \cos(x) + \sin(x)
      11. y(x) = \exp(x)
      12. y(x) = \ln(x)
      13. y(x) = 2\sin(x) \cos(x)
      14. y(x) = x\sin(x)
      15. y(x) = xe^x
      16. y(x) = \ln(x) \exp(x)
      17. y(x) = (x+1)(x+1)
      18. y(x) = (x+1)\exp(x)
      19. y(x) = \ln(-x)
      20. y(x) = \sin(-x)
      21. y(x) = \sin(x^2)
      22. y(x) = \exp(-2x)
      23. y(x) = \exp(-3\sin(x))
      24. y(x) = \frac{1}{x+1}
      25. y(x) = \frac{x}{x+1}
      26. y(x) = \frac{1}{\sin(x)}
      27. y(x) = \frac{1}{1+\sin(x)}
      28. y(x) = \frac{1}{\sin(x^2)}
      29. y(x) = \frac{1}{\sin(x^2)+1}
      30. y(x) = \sqrt{x+1}
      31. y(x) = \log_{10}x
      32. y(x) = 10^x
    2. Niech y(x) = k\sin(ax). Oblicz:
      1. \displaystyle \frac{d\,y}{d\,x}
      2. \displaystyle \frac{d\,y}{d\,a}
      3. \displaystyle \frac{d\,y}{d\,k}
    3. O pewnych funkcjach f i g wiadomo, że g(0) = 0, g'(0) = 2, f'(0) = 4. Ile wynosi pochodna funkcji złożonej f(g(x)) w punkcie x=0?
    4. Rozpatrzmy funkcję y(x) = \sqrt{1+x}.
      1. Znajdź równanie prostej, która aproksymuje tę funkcję w pobliżu punktu x=0.
      2. Uzasadnij, że dla dostatecznie małych x wartość wyrażenia \sqrt{1+x} można przybliżyć wyrażeniem 1+x/2. Uwaga: jest to tak często używane przybliżenie, że warto je zapamiętać.
      3. Oszacuj w pamięci wartość wyrażeń \sqrt{1.02} oraz \sqrt{0.96}.
    5. Samochód jedzie trasą wokół Los Angeles. Jest to specjalny samochód firmy Google, w którym nie ma kierowcy, za to jest pasażer oraz mnóstwo czujników. Wiadomo, że po 30 minutach samochód przejechał dokładnie 12 km i 113 m i miał wtedy prędkość 7 m/s.
      1. Oszacuj, jak daleko od punktu startu znajdzie się samochód po 30 minutach i 5 sekundach jeśli wiadomo, że w tym czasie nie hamował ani nie przyspieszał gwałtownie.
      2. Jaki jest związek pomiędzy tym problemem a poprzednim zadaniem? Wskazówka: prędkość chwilowa to pochodna drogi po czasie.
      3. Czy możemy w ten sposób wiarygodnie szacować położenie tego samochodu po  1ms, 1s, 1 min, 1 godzinie?
      4. Jaki jest związek odpowiedzi na poprzednie pytanie z dokładnością aproksymacji funkcji („gładkiej”) funkcją liniową?
    6. Wg danych GUS, w dniu 30 VI 2014 r. Polskę zamieszkiwało 38 483 957 obywateli. W roku 2014 przyrost naturalny w Polsce wynosił -0.11\%.
      1. Oszacuj liczbę ludności Polski pod koniec 2014 r.
      2. Jaki jest związek tego problemu z pochodnymi?
      3. Czy na podstawie przytoczonych powyżej danych można wiarygodnie szacować stan ludności Polski w 2020 r? W 2050 r?
      4. Czy odpowiedź na pytania z poprzedniego punktu ma związek z dokładnością aproksymacji funkcji („gładkiej”) funkcją liniową, nawet jeśli liczba ludności nie jest funkcją gładką i różniczkowalną (bo ma wartości ze zbioru liczb naturalnych)?

Zadania

W tym tygodniu zadań do rozwiązywania przy komputerze nie ma…