7. Pochodna (2) – Matematyka dla informatyków

Druga część wykładu o pochodnych poświęcona jest ich zastosowaniom.

Wykład

Prezentacja

Quiz

Quiz jak zwykle rozwiązujemy w głowie, ewentualnie na tablicy lub kartce papieru.

Pomiar średnicy pewnego koła dał wartość d = 31 ± 0,5 cm. Na tej podstawie oszacowano, że obwód tego koła wynosi
$P = \pi d \approx 97{,}4 \;\mathrm{cm},$

a jego pole to

$S = \frac{\pi d^2}{4} \approx 754{,}8 \;\mathrm{cm}^2.$

Poproszono Cię, byś oszacował(a) niepewność tych pomiarów. Z jakich wzorów skorzystasz, by oszacować niepewność pomiaru
1. długości obwodu tego koła, $\Delta P$ ,
2. pola powierzchni tego koła, $\Delta S$ ?
Gdyby średnica koła wzrosła 2 razy, to jego obwód również wzrósłby 2 razy, natomiast pole jego powierzchni powiększyłoby się 4 razy. Przypuśćmy, że niepewność pomiarową długości średnicy koła uda się zredukować o 50%. Jak wpłynie to na zmianę niepewności pomiarowej
1. obwodu koła, $\Delta P$ ,
2. pola powierzchni koła, $\Delta S$ ?
Na stronie polskiej Wikipedii znajduje się informacja, że wartość stałej Plancka wynosi
$h = 6,\!626 069 57(29)\cdot 10^{-34} \;\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$

Jaka jest wartość niepewności pomiarowej tej stałej?
Prędkość i przyspieszenie
1. Jaką drogę w ciągu 2 sekund pokonuje samolot, poruszający się ze stałą prędkością 100 m/s?
2. O ile wzrosłaby prędkość samolotu myśliwskiego, który ciągu 1 sekundy podlegałby przyspieszeniu 10 g (g ≈ 10 m/s²), jeśli to przyspieszenie skierowane by było wzdłuż kierunku lotu samolotu? (w rzeczywistości silniki nie mają aż tak dużego ciągu)
3. Wikipedia podaje, że „Kierowca F1, David Purley w roku 1977 w wyniku gwałtownego hamowania (z 173 km/h do zera, na odcinku 66 cm), przeżył przeciążenie 179,3 g”. Pomińmy milczeniem nazwanie wypadku hamowaniem czy też zmierzenie drogi tego hamowania z dokładnością do centymetra. Przyjmijmy jednak za dobrą monetę wartości prędkości początkowej (173 km/h ≈ 48 m/s) i przeciążenia (179,3 g ≈ 1800 m/s²).
  1. Jak długo trwało to „hamowanie”?
  2. Ile czasu zajęłoby bolidowi Purleya pokonanie 66 cm ze stałą prędkością 48 m/s?
Jeżeli małpka na sprężynie

porusza się wzdłuż jednej prostej, np. w kierunku góra-dół, to w punktach maksymalnego wychylenia jej prędkość znika. Jak ta obserwacja ma się do sposobu ustalania ekstremów funkcji za pomocą pochodnych?
Gdy upuścimy nieruchomą piłeczkę (np. kauczukową lub do ping-ponga) i pozwolimy jej swobodnie odbijać się od podłogi, w jednym z punktów jej maksymalnego wychylenia, jakim jest punkt styczności z podłogą, jej prędkość nie tylko nie będzie zerowa, ale wręcz będzie maksymalna. Jak tę obserwację pogodzić z wiadomościami o sposobach wyznaczania ekstremów funkcji? (uwaga: w rzeczywistości położenie piłeczki jest ciągłą funkcją czasu (dlaczego?), jednak dla dobra nauki na chwilę możemy o tym zapomnieć).
Różniczkę funkcji można uprościć następująco: . Proszę w podobny sposób uprość różniczki następujących funkcji:
1. $y(x) = \sin(2x)$
2. $y(x) = \ln (3x)$
3. $y(t) = 4\exp(-3t)$
4. $y(t) = gt^2/2 + v_0t$
5. $x(t) = \sin(ax)\exp(-\omega t)$
6. $x(t) = \sin(at)\exp(-\omega t)$
Jednorodna ściana (np. z cegły) ma grubość 50 cm. Temperatury po przeciwnych stronach tej ściany wynoszą, odpowiednio, +20ºC i – 30ºC. Ile wnosi gradient temperatury w tej ścianie?
Korzystając z reguły d’Hospitala znajdź granice niewłaściwe
1. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}$
2. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2}$
3. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{{\sqrt{1+x}-1}}{x}$
4. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}$
5. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\exp x}{x}$
6. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \exp (x)\cdot \frac{1}{x}$
Dlaczego reguły d’Hospitala nie można użyć do wyznaczenia granicy $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x+1}{x-1}$ ?

Zadania

Zbadaj właściwości funkcji
$y(t) = t\sin(t),$

dla $0 \le t \le 10$ .
Zadanie może wydawać się żmudne, ale w rzeczywistości jest to dość proste ćwiczenie na (a) rysowanie wykresów i (b) korzystanie z funkcji fzero. Jeśli wydaje się zbyt trudne, można je rozwiązywać w parach. Poniżej animacja tej funkcji, a tutaj jest link do skryptu gnuplota generującego tę animację.

Plan działania:
1. Zrób wykres tej funkcji dla . Aby uzyskać czytelny wykres, możesz użyć następującego ciągu instrukcji:
```
N = 1001; 
tmax = 10;
t = linspace(0, tmax, N);
x = @(t) (t .* sin(t));
# v = @(t) (...);   # <-- odkomentuj i uzupełnij później
# a = @(t) (...);   # <-- odkomentuj i uzupełnij później
fig = plot(t, x(t), "-r", t, 0*t, "-k");
ax = gca();      # uchwyt do opisu osi
leg = legend();  # uchwyt do legendy wykresu 
set (ax, "fontsize", 20);
set (ax, "xminortick", "on");
set (ax, "yminortick", "on");
set (leg, "fontsize", 20);
set (fig, "linewidth", 2);
title("y(t) = t*sin(t)");
grid on;
```
  Wykres powinien wyglądać mniej więcej tak:
2. Na podstawie rysunku oszacuj, ile ta funkcja ma miejsc zerowych, maksimów, minimów i punktów przegięcia na przedziale $0\le t \le 10$ .
3. Na podstawie rysunku oszacuj, dla jakich wartości $t$ funkcja $x(t)$ jest rosnąca, malejąca, wklęsła, wypukła.
4. Miejsca zerowe uzyskujemy z rozwiązania równania $t\cdot \sin t = 0$ , czyli $t=0$ lub $\sin t = 0$ , czyli $t = 0, \pi, 2\pi, 3\pi$ .
5. Czy miejsca zerowe można łatwo odczytać z wykresu? W instrukcji plot dodaj parametr „+”:
```
fig = plot(x, y(x), "-+r", x, 0*x, "-k");
```
  tak, aby na wykresie pojawiły się punkty. Powiększ wykres wokół drugiego miejsca zerowego (o wartości $\pi$ ). W systemie Windows wystarczy wybrać narzędzie zoom (z+) i kilkukrotnie kliknąć okolice domniemanego punktu zerowego. Daje to następujący efekt:
  
  Należy zauważyć, że Octave rysuje wykres składający się z odcinków, które łączą punkty wykresu, jest więc przybliżoną reprezentacją rzeczywistego wykresu. Jeśli składowe „x” punktów wykresu oddalone są od siebie o 0.01, jak na rysunku powyżej, to z jaką dokładnością odcinek aproksymuje krzywą? Można oczekiwać, że ta dokładność jest rzędu $h^2$ , gdzie $h$ to połowa odległości między składowymi „x” punktów. W naszym przypadku jest to $h^2=0.000025$ . W rzeczywistości dokładność tej metody jest rzędu $0.00001$ , czyli sześć cyfr znaczących, co ilustruje poniższy rysunek, na którym kolorem niebieskim zaznaczono znacznie dokładniejszy przebieg krzywej $x(t)$ :
6. Położenia miejsc zerowych dowolnej funkcji łatwo wyznaczyć w Octave za pomocą funkcji fzero:
```
>> fzero (y, 3)
ans = 3.14159265358980
```
  w której pierwszym argumentem jest funkcja, a drugim – przybliżona wartość poszukiwanego miejsca zerowego. Za pomocą tej funkcji znajdź kolejne miejsca zerowe funkcji $x(t) = t\sin t$ w przedziale $0 \le t \le 10$ i sprawdź, że rzeczywiście równe są $0, \pi, 2\pi$ i $3\pi$ .
7. Skoro znamy już punkty zerowe funkcji , czas na wyznaczenie ekstremów, czyli minimów i maksimów. Najprostsze podejście polega na powiększaniu wykresu w okolicach punktu, w których spodziewamy się występowania minimum lub maksimum:
  
  Jak widać, ta metoda nie pozwala oszacować (w Octave) położenia maksimum z dokładnością większą niż 0.01 (3 cyfry znaczące). A może przyczyną jest zbyt mała liczba punktów, z jakich utworzyliśmy wykres? Zmniejszmy odstęp między nimi z 0.01 do 0.001:
```
N = 10001;
```
  Aby uzyskać „ładny” wykres, z dopasowaną skalą na osi „y”, zamiast klikać na wykres, wybierałem myszką prostokąt, który miał być powiększony. Teraz możemy oszacować, że pierwsze maksimum występuje dla $x\approx 2.029$ . Problem jednak w tym, że zmianie $\Delta x = 0.001$ odpowiada $\Delta y \approx 0.00001$ (a nawet jeszcze mniejsza w bezpośrednim otoczeniu maximum), czyli przyrost y jest znacznie mniejszy, rzędu $(\Delta x)^2$ . Oznacza to, że na maszynie, która przechowuje liczby z dokładnością do 16 cyfr znaczących, nie mamy żadnych szans wyznaczyć położenie maksimum z dokładnością większą niż około 7-8 cyfr znaczących – niezależnie od gęstości siatki punktów kontrolnych.
  OK, wykonaj podobny wykres dla drugiego maksimum lub pierwszego minimum i sprawdź, że zachodzi w nim podobne zjawisko.
8. Skoro bezpośrednie wyznaczanie położenia ekstremum jest uciążliwe i podatne na błędy, próbujemy obejść tę trudność poprzez przeformułowanie problemu: zamiast szukać maksimum lub minimum bezpośrednio, będziemy szukać miejsc zerowych pochodnej funkcji .
  Zdefiniuj funkcję jako pochodną :
```
v = @(x) (...);
```
  oczywiście w powyższym kodzie trzy kropki należy zastąpić jakąś użyteczną treścią.
9. Wykonaj rysunek $y(t)$ i $v(t)$ .
10. Wyznacz wszystkie punkty zerowe funkcji $v(t)$ (znaną już funkcją fzero). Zapisz gdzieś ich wartości, bo przydadzą się później, w kolejnym zdaniu.
11. Na pewno ciekawi Cię, z jaką dokładnością Octave wyznaczyło miejsca zerowe ? Odpowiedź można uzyskać, wywołując fzero w specjalny sposób:
```
>> [X, FVAL, INFO, OUTPUT] = fzero(v, 2)
X =  2.02875783811044
FVAL =  -4.44089209850063e-015
INFO =  1
OUTPUT =
  scalar structure containing the fields:
    iterations =  7
    funcCount =  10
    bracketx =
       2.02875783811043   2.02875783811044
    brackety =
      3.33066907387547e-016  -4.44089209850063e-015
```
  Składowa OUTPUT.bracketx informuje, że miejsce zerowe funkcji $v(t)$ znajduje się pomiędzy 2.02875783811043 a 2.02875783811044, jego wartość została więc wyznaczona z dokładnością do 15 cyfr znaczących. W analogiczny sposób zbadaj dokładność wyznaczenia innego miejsca zerowego $v(t)$ .
12. Kolej na punkty przegięcia. Zdefiniuj $a(t)$ jako pochodną $v(t)$ .
13. Wykonaj rysunek $x(t), v(t)$ i $a(t)$ (np. taki jak poniżej)
14. Znaną metodą wyznacz miejsca zerowe $a(t)$ . Czy odpowiadają one punktom, w których $v(t)$ ma minimum lub maksimum?
15. Ile wynosi globalne minimum i maksimum $x(t)$ na badanym przedziale $0 \le t \le 10$ ?
Położenie pewnego obiektu, który porusza się po linii prostej wzdłuż osi x, dane jest równaniem
$x(t) = t\sin(t),$

gdzie położenie (x) mierzone jest w metrach, a czas (t) – w sekundach. Jaką drogę, z dokładnością do 0.01 metra, przebył ten obiekt w ciągu pierwszych 10 sekund ruchu?
Wskazówka: w poprawnej odpowiedzi cyfra 4 występuje 2 razy.

Matematyka dla informatyków

Semestr 1

Wykład

Quiz

Zadania