Funkcje użytkownika

Definiowanie funkcji

W poprzedniej części kursu wyjaśniłem, jak łatwo w Octave można utworzyć własne programy (tzw. skrypty). Funkcje użytkownika najłatwiej można zdefiniować właśnie w formie skryptów.

Załóżmy, że naszym celem jest zdefiniowanie funkcji o nazwie sin5, która dla argumentu x obliczać będzie wartość wyrażenia x - x3/6 + x5/120. Aby zdefiniować taką funkcję:

1. Tworzymy (w katalogu bieżącym) plik o nazwie sin5.m
2. W pliku tym wpisujemy:

   function y = sin5(x)
      y = x - x**3/6 + x**5/120;
   endfunction
   

Uwaga! Powyższa definicja nie jest optymalna! Niedługo ją poprawimy!

Funkcje tę wywołujemy w Octave w naturalny sposób:

> sin5 (0.1)
ans =  0.099833

Ogólnie, podczas definiowania funkcji w pliku obowiązują następujące zasady:

• Plik musi mieć taką nazwę, jak funkcja i rozszerzenie m (tj. mieć postać nazwa_funkcji_m).
• Plik musi być widoczny dla programu (np. znajdować się w katalogu bieżącym programu).
• Definicja funkcji musi zawierać się między poleceniami function i endfunction.
• Funkcja może przyjmować wiele argumentów, np.

  function y = f(a, b, c) 
  

• Funkcja może zwracać wiele wartości (będących składowymi wektora), np:

  function [y, eps, xi] = f(a, b, c) 
  
  

• Funkcja może składać się z wielu instrukcji, które warto kończyć średnikiem:

     y = x - x**3/6;
     y = y + x**5/120;
  

  Niezakończenie jakiejś instrukcji średnikiem spowoduje wyświetlenie wykonywanych w niej obliczeń – ta cecha przydaje się np. podczas szukania błędów w skrypcie, ale rzadko kiedy ma zastosowanie w gotowej, przetestowanej funkcji, stąd zalecenie, by instrukcje kończyć średnikiem.

Odwzorowania

> cos([0, 0.1, 0.2])
ans =
   1.00000   0.99500   0.98007

Jak widać, jeżeli argumentem funkcji cos jest wektor, wynikiem jest wektor utworzony z wartości tej funkcji dla wszystkich elementów wektora [0, 0.1, 0.2], czyli

cos([0, 0.1, 0.2]) = [cos(0), cos(0.1), cos(0.2)]

Ogólnie, jeżeli f jest odwzorowaniem, a v macierzą n na m, to f(v) też jest macierzą n na m, przy czym jeżeli podstawimy w = f(v), to spełniona będzie zależność w(k,l) = f(v(k,l)). Innymi słowy, w k-tym wierszu i l-tej kolumnie macierzy f(v) znajduje się wartość funkcji f dla argumentu v(k,l).

Informacja o tym, czy dana funkcja Octave jest odwzorowaniem, znajduje się w dokumentacji tej funkcji (help), w której odwzorowania określane są jako mapper function lub mapping function, zwykle już w pierwszym wierszu opisu.

Odwzorowania są w Octave bardzo ważną klasą funkcji, gdyż umożliwiają rozwiązywanie wielu podstawowych problemów numerycznych, takich jak znajdowanie pierwiastków równań z wieloma niewiadomymi, rozwiązywanie równań różniczkowych czy obliczanie pól powierzchni (całek), a także tworzenie wykresów funkcji.

Operatory „z kropką”

Jak można się łatwo przekonać, nasza funkcja sin5 nie jest odwzorowaniem i nie można jej wywoływać z argumentami innymi niż skalary, co znacznie ogranicza jej użyteczność. Można temu jednak łatwo zaradzić. Aby funkcja sin5 stała się odwzorowaniem, wystarczy poprzedzić kropką wszystkie występujące w jej definicji operatory potęgowania:

function y = sin5(x)
   y = x - (x.**3)/6 + (x.**5)/120;
endfunction

Ogólnie, kropką można poprzedzić dowolny operator "iloczynowy", czyli operator mnożenia (.*, dzielenia (./ lub .\) i potęgowania (.** lub .^). To, kiedy stosować tę kropkę, zależy od następujących czynników:

• Nie ma sensu stosować kropki przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczby (ogólnie: skalary). Np. x/2 jest zawsze równoważne wyrażeniu x./2.
• Jeżeli nie znasz rachunku macierzowego, to zawsze poprzedzaj operatory mnożenia, dzielenia i potęgowania kropką (z wyjątkiem mnożenie lub dzielenia przez liczbę).
• Jeżeli znasz rachunek macierzowy, to pamiętaj, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie "bez kropki" to operacje macierzowe.
  • W wyrażeniu x * y macierz x musi mieć tyle kolumn, ile wierszy ma macierz y.
  • Wyrażenie x/y jest równoważne x*(y-1), a więc wiąże się z kosztownym obliczeniem odwrotności y.
  • Wyrażenie x\y ma wartość (x-1)*y, która jest wyznaczana szybkim algorytmem niewymagającym wyznaczania x-1.
  • W wyrażeniach x.*y i x./y macierze x i y muszą mieć ten sam rozmiar. Operacje z kropką wykonywane są "element po elemencie". Np.

    > m = [1 -1; -1 1]
    m =
       1  -1
      -1   1
    > v = [1 2; 3 4]
    v =
       1   2
       3   4
    > m .* v
    ans =
       1  -2
      -3   4
    > m * v
    ans =
      -2  -2
       2   2
    

• Nie używaj operatorów ".\", ".+" i ".–".
• Pamiętaj, że kropka może też oznaczać część ułamkową liczby. Jeżeli zachodzi konflikt tych znaczeń, Octave przyjmie, że kropka łączy się z operatorem. Np. wyrażenie

  > 2./m	
  

  zostanie zinterpretowane następująco:

  2 ./ m
  

# Funkcja sin5 przybliża wartość funkcji sin(x) za pomocą wielomianu stopnia 5.
#
# Przybliżenie to jest całkiem dobre dla małych wartości x, 
# np. dla |x| < 1.  
#

function y = sin5(x)
   y = x - x.**3/6 + x.**5/120; 
endfunction