PDE

• Prezentacja
• Notatki
• https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_nonlinear_partial_differential_equations
• Derivatives of multivariable functions

Quiz

Przyporządkuj równaniom odpowiedni opis

Postać równań:

1.      \vec\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial {t}}
2.      \vec\nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} +\mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}} {\partial {t}}
3.      \varepsilon  \vec\nabla \cdot \vec{E} = \rho
4.      \vec\nabla \cdot \vec{B} = 0
5.      \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T
6.      \vec{\nabla } \cdot \vec{u} =0
7.      \frac{\partial \rho}{\partial t} = \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{u})

Opisy równań:

A)   Prawo zachowania masy (dynamika płynów)
B)   Źródłem pola elektrycznego są ładunki elektryczne
C)   Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają pole magnetyczne
D)   Nie istnieją ładunki magnetyczne
E)   Prędkość zmiany temperatury jest proporcjonalna do nadwyżki średniej temperatury w otoczeniu danego punktu względem temperatury w tym punkcie
F)   Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne
G)   Przepływ jest nieściśliwy

Zadania do wykonania ręcznie

1.  Oblicz możliwe pochodne cząstkowe dla:
   1.  f(x,y,z) = x^2 + y \,z
   2.  f(x,y,z) = z\ln(xy)
   3.   f(x,y) = \frac{x}{y}
   4. R(t,s) =  s^2 \sqrt{t}
2.  Oblicz różniczkę df dla:
   1.   f(x,y,z) = x^2 + y\,z
   2.   f(x,y,z) = z\ln(xy)
   3.   f(x,y) = \frac{x}{y}
   4. R(t,s) = s^2 \sqrt{t}
3. Przepisz równania używając u=u(x,t) oraz pochodnych w jawnej postaci czyli \partial u/\partial t =u_t,  \partial u/\partial x =u_x, \partial^2 u/\partial t^2 =u_{tt}, \partial^2 u/\partial t \partial x =u_{tx}, itd:
   1. 
   2. 
   3. 
4. Sprawdź czy funkcja \psi(t,x)=A\,cos(\omega t + k x), jest rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego (tzw. “falowego”)
   • \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(t,x)}{\partial t^2}-V^2\frac{\partial^2 \psi(t,x)}{\partial x^2}=0 gdzie V=\frac{\omega}{k} =\frac{\frac{2\pi}{T}}{\frac{2\pi}{\lambda}}.