Pochodna (2)

Druga część wykładu o pochodnych.

Wykład

• Prezentacja
• Notatki nowe
• Notatki+examples
• Karta wzorów

Zadania

1. Powiąż wykresy prędkości z wykresami przyspieszeń:
2. Narysuj wykres położenia od czasu i przyspieszenia od czasu:
3. Narysuj wykresy prędkości od czasu i przyspieszenia od czasu:
4. Narysuj wykres położenia od czasu  wiedząc, że
5. Narysuj wykres prędkości od czasu wiedząc, że
6. Jeżeli małpka na sprężynie
   
   porusza się wzdłuż jednej prostej, np. w kierunku góra-dół, to w punktach maksymalnego wychylenia jej prędkość znika. Jak ta obserwacja ma się do sposobu ustalania ekstremów funkcji za pomocą pochodnych?
7. Gdy upuścimy nieruchomą piłeczkę (np. kauczukową lub do ping-ponga) i pozwolimy jej swobodnie odbijać się od podłogi, w jednym z punktów jej maksymalnego wychylenia, jakim jest punkt styczności z podłogą, jej prędkość nie tylko nie będzie zerowa, ale wręcz będzie maksymalna. Jak tę obserwację pogodzić z wiadomościami o sposobach wyznaczania ekstremów funkcji? (uwaga: w rzeczywistości położenie piłeczki jest ciągłą funkcją czasu, jednak dla dobra nauki na chwilę możemy o tym zapomnieć).
8. Pomiar średnicy pewnego koła dał wartość d = 31 ± 0,5 cm. Na tej podstawie oszacowano, że obwód tego koła wynosi
   O = \pi d \approx 97{,}4 \;\mathrm{cm},
   a jego pole to
   P = \frac{\pi d^2}{4}  \approx  754{,}8  \;\mathrm{cm}^2.
   Poproszono Cię, byś oszacował(a) niepewność tych pomiarów. Z jakich wzorów skorzystasz, by oszacować niepewność pomiaru:
   • długości obwodu tego koła, \Delta O?
   • pola powierzchni tego koła, \Delta P?
9. Gdyby średnica koła wzrosła 2 razy, to jego obwód również wzrósłby 2 razy, natomiast pole jego powierzchni powiększyłoby się 4 razy. Przypuśćmy, że niepewność pomiarową długości średnicy koła uda się zredukować o 50%. Jak wpłynie to na zmianę niepewności pomiarowej
   • obwodu koła, \Delta O?
   • pola powierzchni koła, \Delta P?
10. Uogólnij regułę Leibniza na przypadek pochodnej iloczynu trzech funkcji: (f\cdot g \cdot h)'.
11. Rozwiń funkcję sin(x) w szereg Taylora w punkcie x_0=\pi.
12. Policz pochodną arc\, cos(x).
13. Policz pochodną z e^{ax} z definicji ilorazu różnicowego. Wskazówka: w którymś momencie musisz użyć rozwinięcia e^{ax} w szereg Taylora.
14. Policz styczną w punkcie x_0=1:
    • funkcji \frac{1}{x}
    • funkcji x\cdot sin(x^2).
15. Wyznacz ekstremum funkcji:
    • x^x
    • x^{-x}
16. Zbadaj właściwości funkcji
    y(t) = t\sin(t),
    dla 0 \le t \le 10.
    Zadanie może wydawać się żmudne, ale w rzeczywistości jest to dość proste ćwiczenie na (a) rysowanie wykresów i (b) korzystanie z funkcji fzero. Jeśli wydaje się zbyt trudne, można je rozwiązywać w parach. Poniżej animacja tej funkcji, a tutaj jest link do skryptu gnuplota generującego tę animację.
    
    Plan działania:
    1. Zrób wykres tej funkcji dla 0 \le t \le 10. Aby uzyskać czytelny wykres, możesz użyć następującego ciągu instrukcji:

       N = 1001; 
       tmax = 10;
       t = linspace(0, tmax, N);
       x = @(t) (t .* sin(t));
       # v = @(t) (...);   # <-- odkomentuj i uzupełnij później
       # a = @(t) (...);   # <-- odkomentuj i uzupełnij później
       fig = plot(t, x(t), "-r", t, 0*t, "-k");
       ax = gca();      # uchwyt do opisu osi
       leg = legend();  # uchwyt do legendy wykresu 
       set (ax, "fontsize", 20);
       set (ax, "xminortick", "on");
       set (ax, "yminortick", "on");
       set (leg, "fontsize", 20);
       set (fig, "linewidth", 2);
       title("y(t) = t*sin(t)");
       grid on;

       Wykres powinien wyglądać mniej więcej tak:
       

    2. Na podstawie rysunku oszacuj, ile ta funkcja ma miejsc zerowych, maksimów, minimów i punktów przegięcia na przedziale 0\le t \le 10.
    3. Na podstawie rysunku oszacuj, dla jakich wartości t funkcja x(t) jest rosnąca, malejąca, wklęsła, wypukła.
    4. Miejsca zerowe uzyskujemy z rozwiązania równania t\cdot \sin t = 0, czyli t=0 lub \sin t = 0, czyli t = 0, \pi, 2\pi, 3\pi.
    5. Czy miejsca zerowe można łatwo odczytać z wykresu? W instrukcji plot dodaj parametr “+”:

       fig = plot(x, y(x), "-+r", x, 0*x, "-k");

       tak, aby na wykresie pojawiły się punkty. Powiększ wykres wokół drugiego miejsca zerowego  (o wartości \pi). W systemie Windows wystarczy wybrać narzędzie zoom (z+) i kilkukrotnie kliknąć okolice domniemanego punktu zerowego. Daje to następujący efekt:
       
       Należy zauważyć, że Octave rysuje wykres składający się z odcinków, które łączą punkty wykresu, jest więc przybliżoną reprezentacją rzeczywistego wykresu. Jeśli składowe “x” punktów wykresu oddalone są od siebie o 0.01, jak na rysunku powyżej, to z jaką dokładnością odcinek aproksymuje krzywą? Można oczekiwać, że ta dokładność jest rzędu h^2, gdzie h to połowa odległości między składowymi “x” punktów. W naszym przypadku jest to h^2=0.000025. W rzeczywistości dokładność tej metody jest rzędu 0.00001, czyli sześć cyfr znaczących, co ilustruje poniższy rysunek, na którym kolorem niebieskim zaznaczono znacznie dokładniejszy przebieg krzywej x(t):
       

    6. Położenia miejsc zerowych dowolnej funkcji łatwo wyznaczyć w Octave za pomocą funkcji fzero:

       >> fzero (y, 3)
       ans = 3.14159265358980
       

       w której pierwszym argumentem jest funkcja, a drugim – przybliżona wartość poszukiwanego miejsca zerowego. Za pomocą tej funkcji znajdź kolejne miejsca zerowe funkcji x(t) = t\sin t w przedziale 0 \le t \le 10 i sprawdź, że rzeczywiście równe są 0, \pi, 2\pi i 3\pi.

    7. Skoro znamy już punkty zerowe funkcji x(t), czas na wyznaczenie ekstremów, czyli minimów i maksimów. Najprostsze podejście polega na powiększaniu wykresu w okolicach punktu, w których spodziewamy się występowania minimum lub maksimum:
       
       Jak widać, ta metoda nie pozwala oszacować (w Octave) położenia maksimum z dokładnością większą niż 0.01 (3 cyfry znaczące). A może przyczyną jest zbyt mała liczba punktów, z jakich utworzyliśmy wykres? Zmniejszmy odstęp między nimi z 0.01 do 0.001:

       N = 10001;

       
       Aby uzyskać “ładny” wykres, z dopasowaną skalą na osi “y”, zamiast klikać na wykres, wybierałem myszką prostokąt, który miał być powiększony. Teraz możemy oszacować, że pierwsze maksimum występuje dla x\approx 2.029. Problem jednak w tym, że zmianie \Delta x = 0.001 odpowiada \Delta y \approx 0.00001 (a nawet jeszcze mniejsza w bezpośrednim otoczeniu maximum), czyli przyrost y jest znacznie mniejszy, rzędu (\Delta x)^2. Oznacza to, że na maszynie, która przechowuje liczby z dokładnością do 16 cyfr znaczących, nie mamy żadnych szans wyznaczyć położenie maksimum z dokładnością większą niż około 7-8 cyfr znaczących – niezależnie od gęstości siatki punktów kontrolnych.
       OK, wykonaj podobny wykres dla drugiego maksimum lub pierwszego minimum i sprawdź, że zachodzi w nim podobne zjawisko.

    8. Skoro bezpośrednie wyznaczanie położenia ekstremum jest uciążliwe i podatne na błędy, próbujemy obejść tę trudność poprzez przeformułowanie problemu: zamiast szukać maksimum lub minimum bezpośrednio, będziemy szukać miejsc zerowych pochodnej funkcji y(t).
       Zdefiniuj funkcję v(t) jako pochodnąy(t):

       v = @(x) (...);

       oczywiście w powyższym kodzie trzy kropki należy zastąpić jakąś użyteczną treścią.

    9. Wykonaj rysunek y(t) i v(t).
    10. Wyznacz wszystkie punkty zerowe funkcji v(t) (znaną już funkcją fzero). Zapisz gdzieś ich wartości, bo przydadzą się później, w kolejnym zdaniu.
    11. Na pewno ciekawi Cię, z jaką dokładnością Octave wyznaczyło miejsca zerowe v(t)? Odpowiedź można uzyskać, wywołując fzero w specjalny sposób:

        >> [X, FVAL, INFO, OUTPUT] = fzero(v, 2)
        X =  2.02875783811044
        FVAL =  -4.44089209850063e-015
        INFO =  1
        OUTPUT =
          scalar structure containing the fields:
            iterations =  7
            funcCount =  10
            bracketx =
               2.02875783811043   2.02875783811044
            brackety =
              3.33066907387547e-016  -4.44089209850063e-015
        

        Składowa OUTPUT.bracketx informuje, że miejsce zerowe funkcjiv(t) znajduje się pomiędzy 2.02875783811043 a 2.02875783811044, jego wartość została więc wyznaczona z dokładnością do 15 cyfr znaczących. W analogiczny sposób zbadaj dokładność wyznaczenia innego miejsca zerowegov(t).

    12. Kolej na punkty przegięcia. Zdefiniuj a(t) jako pochodną v(t).
    13. Wykonaj rysunek x(t), v(t) oraz a(t)
        
    14. Znaną metodą wyznacz miejsca zerowe a(t). Czy odpowiadają one punktom, w których v(t) ma minimum lub maksimum?
    15. Ile wynosi globalne minimum i maksimum x(t) na badanym przedziale 0 \le t \le 10?
17. Położenie pewnego obiektu, który porusza się po linii prostej wzdłuż osi x, dane jest równaniem
    x(t) = t\sin(t),
    gdzie położenie (x) mierzone jest w metrach, a czas (t) – w sekundach. Jaką drogę, z dokładnością do 0.01 metra, przebył ten obiekt w ciągu pierwszych 10 sekund ruchu?
    Wskazówka: w poprawnej odpowiedzi cyfra 4 występuje 2 razy.