Wykład
Wzory fundamentalne
funkcja | całka funkcji |
---|---|
x^\alpha, \alpha \neq -1 | \frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1} + C |
\frac{1}{x} | \ln |x| + C |
\exp x | \exp x + C |
\sin x | -\cos x + C |
\cos x | \sin x + C |
wzór | komentarz |
---|---|
\int\left[ \alpha f(x) + \beta g(x) \right]\, dx = \alpha \int f(x)\, dx + \beta \int g(x)\, dx | liniowość |
\int f\,dg = f\cdot g - \int g\, df | całkowanie przez części |
\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f( g(x)) \, dg(x) =\int f(y) \, dy | całkowanie przez zamianę zmiennych, [/katex]x\to y=g(x)[/katex] |
F(x) = \int f(x)\, dx \implies \int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a) | związek całki oznaczonej z nieoznaczoną |
\int f'(z)\, dz = f(z) | całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania |
\left( \int f(z)\, dz \right)' = f(z) | różniczkowanie jest operacją odwrotną do całkowania |
Quiz
- Załóżmy, że znasz prędkość v(t) pewnego obiektu w każdej chwili t oraz jego położenie w chwili t=0 i chcesz wyznaczyć jego położenie w dowolnej chwili t, s(t). Czy skorzystasz z całek czy pochodnych?
- Załóżmy, że znasz położenie s(t) pewnego obiektu w każdej chwili t i chcesz wyznaczyć jego prędkość w dowolnej chwili t, v(t). Użyjesz całek czy pochodnych?
- Niech f(x) będzie pewną ciągłą i różniczkowalną funkcją. Uprość następujące całki:
- \int \, df
- \int \frac{df}{dx}\, dx
- \int f'(x) \, dx
- Ćwiczenie z terminologii: które z poniższych całek są całkami nieoznaczonymi, które – oznaczonymi, a które są całkami właściwymi, a które – niewłaściwymi:
- \int_0^\infty \exp(-x^2)\, dx
- \int x^2 \, dx
- \int_0^z \, dx
- \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx
- \int_{2}^4 \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} \, dx
- W całce I = \int 3\exp(3x-1)\, dx
chcemy zastosować podstawienie t=3x-1.- Wyznacz zależność między d x i dt;
- Podaj postać całki I jako całki zmiennej t;
- Rozwiąż całkę I w zmiennej t;
- Wyraź rozwiązanie jako funkcję oryginalnej zmiennej x.
- Pamietając o wzorze \int f' g = f g - \int f g' oblicz metodą całkowania przez części I = \int x\exp(x)\, dx..
Zadania
- Oblicz ręcznie całki nieoznaczone: (bezpośrednio, przez podstawienie, przez części)
a) \int (\frac{1}{3} x^4 -5) \,\,\textnormal{d}x
ą) \int (\sin^2 x +\cos^2 x)\,\,\textnormal{d}x
b) \int (5 \sin x + 3 e^x)\,\,\textnormal{d}x
c) \int \sqrt[3]{x} \,\,\textnormal{d}x
ć) \int \sqrt{10 x}\,\,\textnormal{d}x
d) \int \frac{dx}{2x}
e) \int (x^2+3x+5)\cdot \sqrt{x}\,\,\textnormal{d}x
ę) \int \frac{11 x^5-12x^3+2x^2-1}{x}\,\,\textnormal{d}x
f) \int \frac{x^2-1}{x-1} \,\,\textnormal{d}x
g) \int (3-5x)\sqrt{x} \,\,\textnormal{d}x
h) \int \frac{x+2}{x+1} \,\,\textnormal{d}x
i) \int \frac{1}{2x+7}\,\,\textnormal{d}x
j) \int \frac{3x}{2x^2+5}\,\,\textnormal{d}x
k) \int x^2(1+x)^2 \,\,\textnormal{d}x
l) \int x\sin(x^2) \,\,\textnormal{d}x
ł) \int (x+5)^{60} \,\,\textnormal{d}x
m) \int \cos(\frac{5}{2}x+3) \,\,\textnormal{d}x
n) \int \frac{\cos(\ln(x))}{x} \,\,\textnormal{d}x
ń) \int \sin(\sin x))\cos(x) \,\,\textnormal{d}x
o) \int x\sqrt{x^2-3} \,\,\textnormal{d}x
ó) \int \sqrt{5x+10} \,\,\textnormal{d}x
p) \int \frac{e^{1/x}}{x^2} \,\,\textnormal{d}x
q) \int (e^{x+1})^2 \,\,\textnormal{d}x
r) \int x^2\exp(x^3+1)\,\,\textnormal{d}x
s) \int 5^{2x}\,\,\textnormal{d}x, pamiętając, że \int a^x dx= a^x/ln(a)
ś) \int e^x\sin(x) \,\,\textnormal{d}x
t) \int x^2 \exp(x) \,\,\textnormal{d}x
u) \int (x+7)\sin (x+3) \,\,\textnormal{d}x
v) \int x^2e^{3x} \,\,\textnormal{d}x
w) \int x^2\ln{x} \,\,\textnormal{d}x
x) \int \sqrt{x}\ln{x} \,\,\textnormal{d}x
y) \int x\ln x \,\,\textnormal{d}x
z) \int \ln x \,\,\textnormal{d}x
ź) \int \sin(x) \cos{x} \,\,\textnormal{d}x
ż) \int \sin^2(x) \,\,\textnormal{d}x - Oblicz ręcznie:
- \int_{-1}^1 (-x^2+4) dx
- \int_{1}^{e} \frac{3}{x} \,d x
- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} (x) d x
- Oblicz ręcznie pole pod grzebietem sinusa, czyli P=\int_a^b f(x)dx=\int_0^\pi \sin(x)dx oraz w Octavie lub Wolframie długość krzywej sinusa na tym samym odcinku, czyli użyj L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}dx gdzie f(x)=sin(x).
- Oblicz ręcznie pole figury ograniczonej krzywymi y(x)=e^x i y(x)=e^{-x} prostą x=1.
- Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami x=1, x=2, y=0, y=x2+1.
- Pole koła, objętość kuli. Obejrzyj film umieszczony na stronie https://www.youtube.com/watch?v=whYqhpc6S6g. Jak widać, koło o promieniu R można traktować jak sumę pierścieni o promieniach r biegnących od 0 do R, każdy o polu powierzchni 2\pi r \cdot \Delta r. Prowadzi to do wniosku, że pole koła o promieniu R można wyrazić za pomocy całki
S(R) = \int_0^R 2\pi r\, dr.
Analogicznie kulę o promieniu R można rozpatrywać jako sumę sfer o powierzchni 4\pi r^2 i grubości \Delta r, gdzie 0 \le r \le R. Wynika stąd, że
V(R) = \int_0^R 4\pi r^2\, dr
Wyznacz wartości powyższych całek i wyprowadź w ten sposób wzory na pole koła i objętość kuli, - Oblicz objętość pomieszczenia (wyjaśniając kroki):efektywnie realizując całkowanie:
- Wyznacz na komputerze całki nieoznaczone, których w normalnym kursie analizy matematycznej nie uświadczysz, gdyż rozwiązania nie są funkcjami elementarnymi:
- \int x^2 \exp\left(-x^2\right) \,dx
- \int \sqrt{t}\exp(-t)\,dt
- Policz na komputerze \int_0^\infty \exp(-x^2) \,dx.
- Korzystając z Octave (patrz wykładowa prezentacja), wyznacz wartości całki Fresnela
S(x) = \int_0^x \sin(t^2)\, dt
dla x=0,0.5, 1, 10, 100. Porównaj wyniki uzyskane w Octave z wynikami otrzymanymi w WolframAlpha - Korzystając z Octave, wyznacz wartość całki
\int_0^\infty \frac{\sin(t^2)}{t}\, dt- Wypróbuj kilka metod Octave, np.
quad
,quadl
,quadv
,quadgk
iquadcc
. - Porównaj wynik z tym, jaki podaje Wolfram Alpha
- Sprawdź, jakie oszacowanie wielkości niepewności wartości całki zwraca ta metoda Octave, która zwraca jakikolwiek wynik.
- Wypróbuj kilka metod Octave, np.