Całki

Wykład

Wzory fundamentalne

funkcja całka funkcji
  x^\alpha, \alpha \neq -1 \frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1} + C
\frac{1}{x} \ln |x| + C
\exp x \exp x + C
\sin x -\cos x + C
\cos x \sin x + C
Tabela 1.  Całki funkcji elementarnych
 wzór  komentarz
  \int\left[ \alpha f(x) + \beta g(x) \right]\, dx = \alpha \int f(x)\, dx + \beta \int g(x)\, dx liniowość
\int f\,dg = f\cdot g - \int g\, df całkowanie przez części
\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f( g(x)) \, dg(x) =\int f(y) \, dy całkowanie przez zamianę zmiennych, [/katex]x\to y=g(x)[/katex]
F(x) = \int f(x)\, dx \implies \int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a) związek całki oznaczonej z nieoznaczoną
\int f'(z)\, dz = f(z) całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania
  \left( \int f(z)\, dz \right)' = f(z) różniczkowanie jest operacją odwrotną do całkowania
Tabela 2. Podstawowe wzory rachunku całkowego

Quiz

  1. Załóżmy, że znasz prędkość v(t) pewnego obiektu w każdej chwili t oraz jego położenie w chwili t=0 i chcesz wyznaczyć jego położenie w dowolnej chwili t, s(t). Czy skorzystasz z całek czy pochodnych?
  2. Załóżmy, że znasz położenie s(t) pewnego obiektu w każdej chwili t i chcesz wyznaczyć jego prędkość w dowolnej chwili t, v(t). Użyjesz całek czy pochodnych?
  3. Niech f(x) będzie pewną ciągłą i różniczkowalną funkcją. Uprość następujące całki:
    1. \int \, df
    2. \int  \frac{df}{dx}\, dx
    3. \int  f'(x) \, dx
  4. Ćwiczenie z terminologii: które z poniższych całek są całkami nieoznaczonymi, które – oznaczonymi, a które są całkami właściwymi, a które – niewłaściwymi:
    1. \int_0^\infty \exp(-x^2)\, dx
    2. \int x^2 \, dx
    3. \int_0^z \, dx
    4. \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx
    5. \int_{2}^4 \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} \, dx
  5. W całce I = \int 3\exp(3x-1)\, dx
    chcemy zastosować podstawienie t=3x-1.

    1. Wyznacz zależność między d x i dt;
    2. Podaj postać całki I jako całki zmiennej t;
    3. Rozwiąż całkę I w zmiennej t;
    4. Wyraź rozwiązanie jako funkcję oryginalnej zmiennej x.
  6. Pamietając o wzorze \int f' g = f g - \int f g' oblicz metodą całkowania przez części I = \int x\exp(x)\, dx..

Zadania

  1. Oblicz ręcznie całki nieoznaczone: (bezpośrednio, przez podstawienie, przez części)
    a) \int (\frac{1}{3} x^4 -5) \,\,\textnormal{d}x
    ą) \int (\sin^2 x +\cos^2 x)\,\,\textnormal{d}x
    b) \int (5 \sin x + 3 e^x)\,\,\textnormal{d}x
    c) \int \sqrt[3]{x} \,\,\textnormal{d}x
    ć) \int \sqrt{10 x}\,\,\textnormal{d}x
    d) \int \frac{dx}{2x}
    e) \int (x^2+3x+5)\cdot \sqrt{x}\,\,\textnormal{d}x
    ę) \int \frac{11 x^5-12x^3+2x^2-1}{x}\,\,\textnormal{d}x
    f) \int \frac{x^2-1}{x-1} \,\,\textnormal{d}x
    g) \int (3-5x)\sqrt{x}  \,\,\textnormal{d}x
    h) \int \frac{x+2}{x+1} \,\,\textnormal{d}x
    i) \int \frac{1}{2x+7}\,\,\textnormal{d}x
    j) \int \frac{3x}{2x^2+5}\,\,\textnormal{d}x
    k) \int x^2(1+x)^2 \,\,\textnormal{d}x
    l) \int x\sin(x^2) \,\,\textnormal{d}x
    ł) \int (x+5)^{60} \,\,\textnormal{d}x
    m) \int \cos(\frac{5}{2}x+3) \,\,\textnormal{d}x
    n) \int \frac{\cos(\ln(x))}{x} \,\,\textnormal{d}x
    ń) \int \sin(\sin x))\cos(x) \,\,\textnormal{d}x
    o) \int x\sqrt{x^2-3} \,\,\textnormal{d}x
    ó) \int \sqrt{5x+10} \,\,\textnormal{d}x
    p) \int \frac{e^{1/x}}{x^2} \,\,\textnormal{d}x
    q) \int (e^{x+1})^2 \,\,\textnormal{d}x
    r) \int x^2\exp(x^3+1)\,\,\textnormal{d}x
    s) \int 5^{2x}\,\,\textnormal{d}x, pamiętając, że \int a^x dx= a^x/ln(a)
    ś) \int e^x\sin(x) \,\,\textnormal{d}x
    t) \int x^2 \exp(x) \,\,\textnormal{d}x
    u) \int (x+7)\sin (x+3) \,\,\textnormal{d}x
    v) \int x^2e^{3x} \,\,\textnormal{d}x
    w) \int x^2\ln{x} \,\,\textnormal{d}x
    x) \int \sqrt{x}\ln{x} \,\,\textnormal{d}x
    y) \int x\ln x \,\,\textnormal{d}x
    z) \int \ln x \,\,\textnormal{d}x
    ź) \int \sin(x) \cos{x} \,\,\textnormal{d}x
    ż) \int \sin^2(x) \,\,\textnormal{d}x
  2. Oblicz ręcznie:
    1. \int_{-1}^1 (-x^2+4) dx
    2. \int_{1}^{e} \frac{3}{x} \,d x
    3. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} (x) d x
  3. Oblicz ręcznie pole pod grzebietem sinusa, czyli P=\int_a^b f(x)dx=\int_0^\pi \sin(x)dx oraz w Octavie lub Wolframie długość krzywej sinusa na tym samym odcinku, czyli użyj L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}dx gdzie f(x)=sin(x).
  4. Oblicz ręcznie pole figury ograniczonej krzywymi y(x)=e^x i y(x)=e^{-x} prostą x=1.
  5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami x=1, x=2, y=0, y=x2+1.
  6. Pole koła, objętość kuli. Obejrzyj film umieszczony na stronie https://www.youtube.com/watch?v=whYqhpc6S6g. Jak widać, koło o promieniu R można traktować jak sumę pierścieni o promieniach r biegnących od 0 do R, każdy o polu powierzchni 2\pi r \cdot \Delta r. Prowadzi to do wniosku, że pole koła o promieniu R można wyrazić za pomocy całki
    S(R) = \int_0^R 2\pi r\, dr.
    Analogicznie kulę o promieniu R można rozpatrywać jako sumę sfer o powierzchni 4\pi r^2 i grubości \Delta r, gdzie 0 \le r \le R. Wynika stąd, że
    V(R) = \int_0^R 4\pi r^2\, dr
    Wyznacz wartości powyższych całek i wyprowadź w ten sposób wzory na pole koła i objętość kuli,
  7. Oblicz objętość pomieszczenia (wyjaśniając kroki):efektywnie realizując całkowanie:
  8. Wyznacz  na komputerze całki nieoznaczone, których w normalnym kursie analizy matematycznej nie uświadczysz, gdyż rozwiązania nie są funkcjami elementarnymi:
    1. \int x^2 \exp\left(-x^2\right)   \,dx
    2. \int  \sqrt{t}\exp(-t)\,dt
  9. Policz na komputerze  \int_0^\infty \exp(-x^2)  \,dx.
  10. Korzystając z Octave (patrz wykładowa prezentacja), wyznacz wartości całki Fresnela
    S(x) = \int_0^x \sin(t^2)\, dt
    dla x=0,0.5, 1, 10, 100. Porównaj wyniki uzyskane w Octave z wynikami otrzymanymi w WolframAlpha
  11. Korzystając z Octave, wyznacz wartość całki
    \int_0^\infty \frac{\sin(t^2)}{t}\, dt

    1. Wypróbuj kilka metod Octave, np. quad, quadl, quadv, quadgk i quadcc.
    2. Porównaj wynik z tym, jaki podaje Wolfram Alpha
    3. Sprawdź, jakie oszacowanie wielkości niepewności wartości całki zwraca ta metoda Octave, która zwraca jakikolwiek wynik.