Aproksymacje

Wykład

Quiz

  1. Znajdź błąd w następującym rozumowaniu:
    • Jeżeli funkcja ciągła przyjmuje w punktach a i b wartości f(a) i f(b), to przyjmuje też wszystkie wartości pomiędzy  f(a) i f(b).
    • Funkcja y(x) = 1/x jest funkcją elementarną, a więc jest funkcją ciągłą; ponadto y(-1) = -1 oraz y(1) = 1.
    • Łącząc powyższe fakty dochodzimy do wniosku, że musi istnieć liczba x_0\in[-1,1] taka, że 1/x_0 = 0 .
  2. Czy funkcja, której wykres przedstawia poniższy rysunek

    • ma granicę lewostronną w x_0 ?
    • ma granicę prawostronną w x_0 ?
    • jest ciągła lewostronnie w x_0 ?
    • jest ciągła prawostronnie w x_0 ?
    • jest ciągła w x_0 ?
  3. Czy funkcja y(x) = (2x-1)/(x+2) , której wykres przedstawia poniższy rysunek

    • ma w punkcie x = -2 granicę prawostronną, właściwą lub nie?
    • ma w punkcie x = -2 granicę lewostronną, właściwą lub nie?
    • jest w punkcie x = -2 lewostronnie lub prawostronnie ciągła?
    • jest w punkcie x = -2 ciągła?
    • jest ciągła na odcinku [1,2]?
    • jest ciągła na odcinku [-3, 0]?
  4. Na podstawie wykresu funkcji z poprzedniego pytania odpowiedz na następujące pytania:
    • Czy funkcja ta ma funkcję odwrotną?
    • Jeśli tak, to jaka jest jej dziedzina?
    • Czy ta funkcja odwrotna jest w swej dziedzinie ciągła?

Zadania

      1. O pewnym wielomianie W wiadomo, że W(0) = 4 i W(2) = -3 . Czy ten wielomian musi mieć pierwiastek?
      2. Skoro \sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - \ldots , to ile wynosi \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}
      3. Skoro \cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - \ldots , to ile wynosi \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}
      4. Skoro \ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 - \ldots , to ile wynosi \lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}
      5. Przypomnij ile wynosi rozwinięcie funkcji e^x . Zapisz rozwinięcie aż do 5-tej potęgi.
      6. Podaj analogiczne rozwinięcie e^{-x} .
      7. Podaj analogiczne rozwinięcie e^{ix} .
      8. Wyraź e^{ix} jako kombinację sin(x) oraz cos(x).
      9. Podaj rozwinięcie cosinusa hiperbolicznego wiedząc, że cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} .
      10. Biorąc zadania powyżej, udowodnij poprawność słynnego wzoru Eulera: e^{i \pi}+1=0 .
      11. Octave: Jak już wiesz, \sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -\ldots , natomiast \cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - \ldots . Niech s(x) będzie wielomianem, który powstaje z powyższego szeregu dla \sin x po odrzuceniu wyrazów w potędze wyższej niż 5. Podobnie niech  c(x) będzie wielomianem, który powstaje z szeregu dla \cos x po odrzuceniu wyrazów wyższego stopnia niż 5.
        • Utwórz iloczyn w(x) = s(x)*s(x) + c(x)*c(x) , który powinien w przybliżeniu równać się \sin^2 x + \cos^2 x , czyli mieć wartość 1. Uwaga. jeżeli używasz Octave i polecenia conv, to pamiętaj, że oba wielomiany muszą mieć dokładnie ten sam stopień.
        • Sprawdź, że wyraz wolny w(x) faktycznie równa się 1, a wszystkie pozostałe jego wyrazy stopnia ≤ 5 równe są 0.
        • Sprawdź, jakie wartości ma w(x)-1 dla x = linspace(0, pi, 8).
      12. Ważne zadanie: Niech x = 0:0.1:3  i y = exp(x) (Octave).
        • Za pomocą  polecenia polyfit dopasuj do (x,y) wielomiany stopnia od 1 do 5.  Czy współczynniki tych wielomianów w wyrazach o potędze ≤ 3 dążą do współczynników wielomianu uzyskanego z rozwinięcia \exp x w szereg względem 0, tj. \exp x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + \ldots ?
          Wskazówka. Szybka komenda do wyświetlenia jednego z tych wielomianów:

          polyout(polyfit(x, y, 1));
        • Wyświetl y(x) oraz kolejne wielomiany aproksymacyjne otrzymane w poprzednim punkcie. Czy wykresy wielomianów wyższych stopni coraz lepiej odpowiadają aproksymowanej funkcji na zadanym przedziale?
          Wskazówka:

          plot(x, polyval(polyfit(x, yy, 1), x), "+", x, y);
      13. Bardzo ważne zadanie: Dany jest ciąg [9, 4, 11, 36, 85, 164, 279, 436, 641, 900]. Wyrazy tego ciągu zostały wygenerowane za pomocą pewnego wielomianu niewielkiego stopnia, tj. a_n = f(n) dla n=1,2,\ldots,10 , przy czym f(n) jest wielomianem zmiennej n . Pytanie brzmi: jaki to wielomian?
        • Wskazówka: https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/polyfit.html.
        • Zapoznaj się z dokumentacją funkcji polyfit (konkretnie: “Create a table of population data for the years 1750 – 2000 and plot the data points.”) a potem wykonaj odpowiednie obliczenia, używając polyfit.