Wykład

Prezentacja
Notatki po wykładowe 1: w formacie *.svg (powinno się dać otworzyć w przeglądarce internetowej)

Zadania do zrobienia ręcznie

Jaki to ciąg: 4,4,4,4,4,4,…?
Oblicz wartość piątego wyrazu ciągu arytmetycznego, jeżeli jego czwarty wyraz ma wartość 20, a szósty ma wartość 28.
Oblicz wartość ósmego wyrazu ciągu geometrycznego, którego siódmy wyraz ma wartość 9, a dziewiąty ma wartość 1.
Dla ciągu o wzorze ogólnym $a_n=2n-10$ określ ile wyrazów ciągu przyjmuje wartość ujemną.
Podaj wzór rekurencyjny $a_{n+1}=a_{n}+...$ ciągu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz ma wartość 5, a dziesiąty wyraz ma wartość 23.
Oblicz sumę wyrazów ciągu geometrycznego: $-1 + 2 - 4 + \ldots- 64$ .
Udowodnij, że $a_n=2n^2-1$ nie jest ciągiem arytmetycznym.
Ciąg arytmetyczny składa się z 200 elementów. Pierwszy z nich ma wartość -10, a wartością ostatniego jest 60. Ile wynosi suma tego ciągu?
Ile wynosi wyrażenie $1 + 2 + 4 + 8+ \ldots + 2^{10}$ ?
Dla jakich wartości parametru n podany ciąg jest arytmetyczny: $(n^2-1), (3n+1),(2n^2-6)$ ?
Pomiędzy liczby 4 i 108 wstaw dwie liczby tak by tworzyły ciąg geometryczny.
Udowodnij, że dla ciągu arytmetycznego średnia arytmetyczna jest zadana przez $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
Udowodnij, że dla ciągu geometrycznego średnia geometryczna jest zadana przez $a^2_n=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$

Zadania przy asyście komputera

Do czego w Octave służą polecenia:
- cumsum
- diff
Używając Octave wyznacz sumy skończone:
- $\sum_{k=1}^{100} k^2$
- $\frac{4}{N}\sum_{k=1}^{N} \sqrt{1-\frac{k^2}{N^2}}$ , dla $N = 10000$ Uwaga. Powyższe wyrażenie z całkiem niezłą dokładnością przybliża pole koła o promieniu 1, czyli wartość pi.
Znajdź w Wolfram Alpha następujące sumy nieskończone:
- $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^k$ (wyjątkowo ten przykład najpierw zrób ręcznie)
- $\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-1}$
- $\displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k-1}$
- $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty k \cdot a^{-k}, \quad |a| > 1$
- $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{2k+1}{(2k)!}$
W pewnym eksperymencie dostaliśmy wartość 1.291285… .Sprawdź na stronie https://oeis.org/ czy za tym nie stoi coś bardziej fundamentalnego. (Wskazówka: na stronie wpisz 1,2,9,1,2,8,5).
Mamy ciąg: $1,2,4,7,11,16,...$ gdzie widzimy, że przyrosty są zadane kolejnymi liczbami naturalnymi. Używając strony https://oeis.org/ ustal jaka jest postać $a_n$ .
Ile wynosi suma szeregu $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots$ ?
Wiemy, że szereg harmoniczny jest rozbieżny, więc od wartości jeden rośnie w sposób nieograniczony (choć dość powolnie). Ile wyrazów musimy zsumować by dostać wartość 100?
Podaj wzór na całkowitą liczbę bloków potrzebnych do stworzenia piramidy o n-stopniach. Zacznij od narysowania jak taka konstrukcja wygląda od góry (tzn. jeden blok na warstwie 4 bloków, które z kolei leżą na warstwie 9 bloków, a te na warstwie 16 bloków, itd). Napisz sześć kolejnych wartości dla kolejnych n, czyli n=1, S₁=1, n=2, S₂=1+4=5, n=3, S₃=1+4+9=14, etc. Zastosuj metodę z wykładu wykorzystującą w Octave polecenie diff. Znajdź końcowe wyrażenie (podpowiedź: będzie to wielomian trzeciego stopnia w n). Dopiero na sam koniec możesz sprawdzić swój wynik z tym uzyskanym w Wolframie Alpha lub https://oeis.org. Uwaga: sprawdzenie odpowiedzi wcześniej oznacza, że jesteś oszustem i dosięgnie cię klątwa faraona.
Wg pewnej legendy związanej z szachami pewien mędrzec miał poprosić króla o „skromną” nagrodę: ”Połóż panie na pierwszym polu szachownicy jedno ziarno pszenicy („grain of wheat”), na drugim dwa, na kolejnych cztery, osiem, szesnaście i tak do ostatniego 64-tego pola za każdym razem podwajając ich liczbę.” Ile to ziaren pszenicy? Zakładając utrzymanie światowych zbiorów pszenicy z zeszłego roku ( 7,52 *10¹¹ kg), ile czasu zajęłoby uzbieranie takiej ilości?
Mrówka siedząca w początku układu współrzędnych postanowiła pójść 1 metr w prawo następnie 1/2 metra w górę, następnie 1/3 metra w lewo, 1/4 w dół, 1/5 w prawo, itd. Do jakiego miejsca ostatecznie doszła? (podaj współrzędne końcowego punktu!)
Poniższy program (Octave) wyznacza kilka pierwszych elementów ciągu Viete’a, który jest zbieżny do 2/π, i na tej podstawie wyświetla kolejne przybliżenia liczby π:
```
N = 10;
x = zeros(1,N);
x(1) = sqrt(2);
for i = 1:(N-1)
  x(i+1) = sqrt(2 + x(i));
  wynik = 2 * 2^i/prod (x(1:i));
  disp ([i, wynik, pi - wynik]);
endfor
```
Uruchom ten program. Przy okazji zapamiętaj na przyszłość użycie komendy disp. Przy jakiej dokładności wyznaczenia liczby π dokładność uzyskiwana w Octave zaczyna odbiegać od wyników.
Zazwyczaj przy ciągach pada pytanie wyłącznie o finalną granicę, jednak my możemy zapytać jak osiągana jest ta granica (np. poprzez zachowanie się jak funkcja potęgowa, logarytmiczna, liniowa, wykładnicza). Na wykładzie omawiany jest przykład ze zbieżnością sin(1/n)/(1/n): program:
```
n = 1:1000;
y = abs(sin(1./n)./(1./n) - 1);
plot (y, "+;lin-lin;");
xlim([0,20]);
pause (2);

semilogx(y, "+;log-lin;");
pause(2);

semilogy(y, "+;lin-log;");
pause(2);

loglog(y, "+;log-log;");
pause(2);

loglog(n, y, "+;log-log;",  n, 1./n.^2, ";1/n^2;");
pause(2);

loglog(n, y, "+;log-log;",  n, 1./n.^2/6, "r;1/6n^2;");
```
Uruchom ten program:
- - Do czego w Octave służą polecenia: semilogx , semilogy , loglog ?
  - Zmodyfikuj program tak, by można było za jego pomocą określić szybkość zbieżności ciągu $a_n = 2^{1/n}$ . Uwaga: (uwaga: przy wykładowym przykładzie zastosowano odjęcie o 1, by badać zbieżność do wartości zero i to samo będzie konieczne w analizowanym przykładzie więc zrealizuj odjęcie o 1 od podanego ciągu!
  - Pamiętajmy też o zestawieniu:

Kolejna porcja zadań do zrobienia ręcznie

Ile wynosi granica ciągu:
- $a_n = \frac{n^3 + 2n^2 +3n + 4}{4 - 3n + 2n^2 - n^3}$ ?
- $a_{n}=\frac{2^{n+1}+3^{2 n-1}}{4^{n}+9^{n}}$ ?
- $a_{n}=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}}{1+3+5+\ldots+(2 n-1)}$ ?
Czy granica ciągu o elementach wymiernych może być niewymierna?
Czemu równe są granice $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ oraz $\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$
Podaj przykład ciągu mającego granicę niewłaściwą.
W jakim przypadku znajomość granicy dwóch ciągów (a_n) i (b_n) nie wystarcza do stwierdzenia istnienia i ewentualnej wartości granicy ciągu (a_n / b_n)?
Wyznacz granicę niewłaściwą $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n^n}{3^n}$
Wyznacz granice:
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}$ , gdzie $a >0.$
Jak w konwencji sumacyjnej Einsteina wygląda zapis:
- iloczynu skalarnego dwóch wektorów, tj. $\sum_{j=1}^{3} a_j b_j$
- energii kinetycznej, tj. $\sum_{j=1}^{3} \frac{v_j v_j}{2}$ .
Spójrz na obrazek: oraz na stronę w angielskiej Wikipedii poświęconą wykresom półlogarytmicznym (ang. semi-log plots). Dlaczego do sporządzenia zamieszczonego tam wykresu fazowego wody użyto wykresu półlogarytmicznego typu lin-log?