Wykład
Quiz
- Na typowym wykresie y-x (współrzędne kartezjańskie) zmienną niezależną umieszcza się zwyczajowo na osi poziomej czy pionowej?
- Jeżeli f oznacza funkcję, to f^{-1} oznacza 1/f czy funkcję odwrotną do f ?
- Jeśli f(x) = x , to f^{-1}(x) = \ldots
- Jeśli f(x) = -x +1 , to f^{-1}(x) = \ldots
- Jeśli f(x) = 1/x, x\neq 0 , to f^{-1}(x) = \ldots
- Wykres funkcji odwrotnej do y(x) otrzymujemy, odbijając go względem prostej y=\ldots
- Jeżeli f(x)=x^2 , to superpozycja f z samą sobą, (f\circ f)(x) = \ldots
- Jeżeli f(x)=x+1 , to (f\circ f^{-1})(x) = \ldots
- Niech w(x) = 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 -2x -1
- w(0) =\ldots
- w(1) =\ldots
- Wyraz wolny tego wielomianu wynosi…
- Stopień tego wielomianu wynosi…
- Współczynnik liniowy równy jest w tym przypadku…
- O wielomianie w(x) wiadomo, że jego wyraz wiodący ma postać x^5 , a jego pierwiastkami są 1, 2, 3, 4 i 5. Co to za wielomian?
- Faktoryzacja to przekształcenie wyrażenia do postaci iloczynu czy sumy?
- Czy różnica dwóch wielomianów stopnia n (np. 2) może być wielomianem niższego stopnia niż n?
- Czy iloczyn dwóch wielomianów każdy stopnia n (np. 2) może być wielomianem niższego stopnia niż 2n?
- Który z poniższych wielomianów na pewno ma pierwiastek rzeczywisty:
- Dowolny wielomian 3. stopnia
- Dowolny wielomian 6. stopnia
- Dowolny wielomian 2015 stopnia.
Zadania
- Napiszę ręcznie postać funkcji odwrotnej do \sqrt{x-1} . Narysuj ręcznie obie funkcje.
- Napisz ręcznie postać funkcji odwrotnej do 2\arcsin{x+2} . W Wolfram Alpha wygeneruj obie funkcje.
- Policz postać funkcji odwrotnej do \frac{x-1}{x-2} . W Wolfram Alpha wygeneruj obie funkcje.
- Jaki wielomian definiuje w Octave instrukcja poniżej?
>> w = [3, -2, 0, 1];
- Zdefiniuj w Octave dwa wielomiany, w(x) = x^2 -3x+1 oraz y(x) = x^3 + x -1 . Następnie:
- Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste w(x)
- Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste y(x)
- Wyznacz iloczyn u(x) = w(x)\cdot y(x)
- Czy w(x)\cdot y(x) = y(x) \cdot w(x) ?
- Jak stopień u(x) ma się do stopni w(x) i y(x) ?
- Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste u(x) i porównaj je z pierwiastkami rzeczywistymi w(x) oraz y(x) .
- Czy odpowiedzi na pytania zadane powyżej mają, Twoim zdaniem, charakter uniwersalny?
- Narysuj wykres y(x) dla -1\le x \le 2 .
- Wykonaj ciąg powiększeń wykresu w pobliżu jego miejsca zerowego. Czy w kolejnych powiększeniach wykres zaczyna przypominać fragment linii prostej?
- Wykres funkcji y=x^2 dla -2 \le x \le2 można w Octave utworzyć następująco:
N = 100; x = linspace(-2, 2, N); y = x .* x; plot(x, y);
W jaki sposób, mając
x
iy
, wygenerować wykres “funkcji odwrotnej” (i dlaczego w poleceniu użyto cudzysłowu)? - Za pomocą metody z poprzedniego zadania:
- narysuj wykres funkcji oraz funkcji odwrotnej do y(x) = 10^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej
y(x) = log10(x)
- narysuj wykres funkcji odwrotnej do y(x) = e^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej
y(x) = log(x)
(W Octavelog(x)
oznacza logarytm naturalny zx
) - narysuj wykres funkcji odwrotnej do y(x) = 3^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej
y(x) = log(x)/log(3)
. Uwaga przypominam: wzór na zamianę podstawy logarytmów.
- narysuj wykres funkcji oraz funkcji odwrotnej do y(x) = 10^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej
- W Octave istnieje możliwość definiowania funkcji anonimowych – w pojedynczym wierszu, bez pomocy słów kluczowych
function
iendfunction
(zobacz link: http://dydmat.mimuw.edu.pl/matematyka-obliczeniowa/octave-podstawy). Służy do tego operator@
. Na przykład, aby zdefiniować funkcję f(x) = 2x + 1 oraz g(x) = x^2-1 , można posłużyć się dwoma instrukcjami:f = @(x) 2 * x + 1; g = @(x) x .* x - 1;
Sprawdź działanie komend: f(g(2)) oraz g(f(2)) a także f(f(2)). Wyświetl na jednym rysunku wykresy funkcji f\circ f , f\circ g , g\circ f i g\circ g dla -2\le x \le 2 . Przypominam, że do wykresu potrzeba zdefiniowania argumentów i polecenia typu plot(x,f(g(x))).
Dodatkowe zadania
- Znając już liczby zespolone znajdź ręcznie miejsca zerowe funkcji kwadratowej: y(x)=x^2+x+1.
- Ile czasu musi upłynąć by z pewnej masy m jakiegoś izotopu o połowicznym rozpadzie 1000 lat został tylko 1 % startowej masy?
- Pokaż, że zachodzi x^{ln(y)}=y^{ln(x)}. Wskazówka: przyda Ci się wzór na zmianę podstawy logarytmu.
- Stwierdzenie ile cyfra ma liczba zapisana w postaci 10^{30} jest trywialnie proste. Policz ręcznie ile w przybliżeniu cyfr ma liczba 2^{100}, jeśli wiadomo, że log_{10}(2) = 0.30. Na pewno przyda Ci się b=a^{log_{a}(b)}.
- Rozwiąż zadanie z książki R. Feynmana: „Dawno temu, w erze paleozoicznej, kropla popołudniowej ulewy upadła na błotnistą równinę, pozostawiając trwały ślad. Ślad ten w postaci skamieliny odkopał pewnego upalnego dnia w wiele lat później student geologii. Wysączywszy do dna wodę ze swojej manierki student ten bezskutecznie się zastanawiał, ile cząsteczek wody z tej starożytnej kropli mogło znajdować się w manierce, którą przed chwilą opróżnił. Spróbuj Ty ocenić tę liczbę.” (Zrób odpowiednie założenia potrzebne do rozwiązania zadania. Przypominamy, że masa molowa wody = 18,01528 g/mol, manierka niech ma pojemność 1 litra. Inne rzeczy poszukaj w Wolframie Alpha oraz we własnej pamięci (np. związek między liczbą moli, masą molową, liczba Avogadro a liczbą cząstek, itd.). To zadanie nie jest żartem i da się je rozwiązać!