Funkcje

Wykład

Quiz

  1. Na typowym wykresie y-x (współrzędne kartezjańskie) zmienną niezależną umieszcza się zwyczajowo na osi poziomej czy pionowej?
  2. Jeżeli f oznacza funkcję, to f^{-1} oznacza 1/f czy funkcję odwrotną do f ?
  3. Wykres funkcji odwrotnej do y(x) otrzymujemy, odbijając go względem prostej y=\ldots
  4. Faktoryzacja to przekształcenie wyrażenia do postaci iloczynu czy sumy?
  5. Czy różnica dwóch wielomianów stopnia n (np. 2) może być wielomianem niższego stopnia niż n?
  6. Czy iloczyn dwóch wielomianów każdy stopnia n (np. 2) może być wielomianem niższego stopnia niż 2n?
  7. Który z poniższych wielomianów na pewno ma pierwiastek rzeczywisty:
    • Dowolny wielomian 3. stopnia
    • Dowolny wielomian 6. stopnia
    • Dowolny wielomian 2015 stopnia.

Zadania do wykonania ręcznie

  1. Jeśli f(x) = x , to f^{-1}(x) = \ldots
  2. Jeśli f(x) = -x +1 , to f^{-1}(x) = \ldots
  3. Jeśli f(x) = 1/x, x\neq 0 , to f^{-1}(x) = \ldots
  4. Jeżeli f(x)=x^2 , to superpozycja f z samą sobą, (f\circ f)(x) = \ldots
  5. Jeżeli f(x)=x+1 , to (f\circ f^{-1})(x) = \ldots
  6. O wielomianie w(x) wiadomo, że jego wyraz wiodący ma postać x^5 , a jego pierwiastkami są 1, 2, 3, 4 i 5. Co to za wielomian?
  7. Niech w(x) = 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 -2x -1
    • w(0) =\ldots
    • w(1) =\ldots
    • Wyraz wolny tego wielomianu wynosi…
    • Stopień tego wielomianu wynosi…
    • Współczynnik liniowy równy jest w tym przypadku…
  8. Znajdź ręcznie funkcję odwrotną do \sqrt{x-1} . Na wykresie narysuj obie funkcje.

Zadania do wykonania w asyście komputera

  1. Podaj funkcję odwrotną do:
    1. 2\arcsin{x+2} (narysuj obie funkcje w Wolfram Alpha)
    2. \frac{x-1}{x-2} (narysuj obie funkcje w Octave)
  2. Jaki wielomian definiuje w Octave instrukcja poniżej? 
    >> w = [3, -2, 0, 1];
  3. Zdefiniuj w Octave dwa wielomiany, w(x) = x^2 -3x+1 oraz y(x) = x^3 + x -1 . Następnie:
    1. Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste w(x)
    2. Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste y(x)
    3. Wyznacz iloczyn u(x) = w(x)\cdot y(x)
    4. Czy w(x)\cdot y(x) = y(x) \cdot w(x) ?
    5. Jak stopień u(x) ma się do stopni w(x) i y(x) ?
    6. Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste u(x) i porównaj je z pierwiastkami rzeczywistymi w(x) oraz y(x) .
    7. Czy odpowiedzi na pytania zadane powyżej mają, Twoim zdaniem, charakter uniwersalny?
    8. Narysuj wykres y(x) dla -1\le x \le 2 .
    9. Wykonaj ciąg powiększeń wykresu w pobliżu jego miejsca zerowego. Czy w kolejnych powiększeniach wykres zaczyna przypominać fragment linii prostej?
  4.  Wykres funkcji y=x^2 dla -2 \le x \le2 można w Octave utworzyć następująco: 
    N = 100;
x = linspace(-2, 2, N);
y = x .* x;
plot(x, y);

    W jaki sposób, mając x i y, wygenerować wykres “funkcji odwrotnej” (i dlaczego w poleceniu użyto cudzysłowu)?

  5. Za pomocą metody z poprzedniego zadania:
    • narysuj wykres funkcji oraz funkcji odwrotnej do y(x) = 10^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej y(x) = log10(x)
    • narysuj wykres funkcji odwrotnej do y(x) = e^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej y(x) = log(x) (W Octave log(x) oznacza logarytm naturalny z x)
    • narysuj wykres funkcji odwrotnej do y(x) = 3^x i sprawdź, czy pokrywa się on z wykresem funkcji logarytmicznej y(x) = log(x)/log(3). Uwaga przypominam: wzór na zamianę podstawy logarytmów.

W Octave istnieje możliwość definiowania funkcji anonimowych – w pojedynczym wierszu, bez pomocy słów kluczowych function i endfunction (zobacz link: http://dydmat.mimuw.edu.pl/matematyka-obliczeniowa/octave-podstawy). Służy do tego operator @. Na przykład, aby zdefiniować funkcję f(x) = 2x + 1 oraz g(x) = x^2-1 , można posłużyć się dwoma instrukcjami:

f = @(x)  2 * x + 1;
g = @(x)  x .* x - 1;

Sprawdź działanie komend: f(g(2)) oraz g(f(2)) a także f(f(2)). Wyświetl na jednym rysunku wykresy funkcji f\circ f , f\circ g , g\circ f i g\circ g dla -2\le x \le 2 . Przypominam, że do wykresu potrzeba zdefiniowania argumentów i polecenia typu plot(x,f(g(x))).

Zadania do wykonania ręcznie – dodatkowe

  1. Znając już liczby zespolone znajdź ręcznie miejsca zerowe funkcji kwadratowej: y(x)=x^2+x+1.
  2. Dana jest liczba zespolona z = 1 + i. Zapisz ją w postaci trygonometrycznej.
  3. Oblicz ręcznie z^3, gdzie z = 1 + i.
  4. Dana jest liczba zespolona z_1 = 3 + 4i oraz  z_2 = 1 - 2i. Oblicz ręcznie iloraz z_1/z_2 podając wynik w postaci  a + i b.
  5. Ile czasu musi upłynąć by z pewnej masy m jakiegoś izotopu o połowicznym rozpadzie 1000 lat został tylko 1 % startowej masy?
  6. Pokaż, że zachodzi x^{ln(y)}=y^{ln(x)}. Wskazówka: przyda Ci się wzór na zmianę podstawy logarytmu.
  7. Stwierdzenie ile cyfra ma liczba zapisana w postaci 10^{30} jest trywialnie proste. Policz ręcznie ile w przybliżeniu cyfr ma liczba 2^{1000}, jeśli wiadomo, że log_{10}(2) = 0.30. Na pewno przyda Ci się b=a^{log_{a}(b)}.
  8. Rozwiąż zadanie z książki R. Feynmana: „Dawno temu, w erze paleozoicznej, kropla popołudniowej ulewy upadła na błotnistą równinę, pozostawiając trwały ślad. Ślad ten w postaci skamieliny odkopał pewnego upalnego dnia w wiele lat później student geologii. Wysączywszy do dna wodę ze swojej manierki student ten bezskutecznie się zastanawiał, ile cząsteczek wody z tej starożytnej kropli mogło znajdować się w manierce, którą przed chwilą opróżnił. Spróbuj Ty ocenić tę liczbę.” (Zrób odpowiednie założenia potrzebne do rozwiązania zadania. Przypominamy, że masa molowa wody = 18,01528 g/mol, manierka niech ma pojemność 1 litra. Inne rzeczy poszukaj w Wolframie Alpha oraz we własnej pamięci (np. związek między liczbą moli, masą molową, liczba Avogadro a liczbą cząstek, itd.). To zadanie nie jest żartem i da się je rozwiązać!
  9. Liczba cząsteczek gazu doskonałego w 1 metrze sześciennym powietrza wynosi 2,69 * 10^{25} (kalkulatorowy zapis to 2,69e25). Załóżmy, że każdą z tych cząsteczek nagle powiększyliśmy do rozmiarów ziarnka ryżu (grain of rice) i rozsypaliśmy równomiernie po powierzchni Ziemi (łącznie z oceanami). Oszacuj, jak grubą warstwą ryżu  pokrylibyśmy naszą planetę?
  10. Spójrz na obrazek: oraz na stronę w angielskiej Wikipedii poświęconą wykresom półlogarytmicznym (ang. semi-log plots). Odpowiedz dlaczego do sporządzenia zamieszczonego tam wykresu fazowego wody użyto wykresu półlogarytmicznego typu lin-log?