Pochodna (1)

Wykład

• • Prezentacja
  • animowany gif + ostatnie notatki
  • Notatki nowe + Skrypt pochodne 1 + Skrypt pochodne 2

Wzory fundamentalne

Tabela 1.  Pochodne funkcji elementarnych

funkcja	pochodna funkcji	przykład
x^\alpha	\alpha x^{\alpha-1}	(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2}
\exp x	\exp x	(\exp 2x)' = 2 \exp 2x
\ln x	\frac{1}{x}	(\ln x)' = \frac{1}{x}
\sin x	\cos x	(\sin 3x)' = 3 \cos 3x
\cos x	-\sin x	(\cos \frac12 x)' = -\frac12 \sin \frac12 x

Tabela 2. Podstawowe wzory na pochodne funkcji złożonych

wyrażenie	pochodna	przykład
\alpha f(x) + \beta g(x)	\alpha f'(x) + \beta g'(x)	(3x-5\sin x)'= 3-5 \cos x
f(x) g(x)	f'(x) g(x)+  f(x) g'(x)	(x\exp x)' = \exp x + x \exp x
\frac{1}{g(x)}	\frac{-g'(x)}{g^2(x)}	\left( \frac{1}{x^2}\right)'=\frac{-2x}{x^4}=\frac{-2}{x^3}
\frac{f(x)}{g(x)}	\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}	\left( \frac{x}{\exp x}\right)' = \frac{\exp x - x \exp x}{\exp 2x} = \frac{1 - x}{\exp x}
f(g(x))	f'(g(x))\cdot g'(x)	(\sin x^2)'= 2x\cos x^2
f^{-1}(x)	(f^{-1}(x))' = 1/f'(y)	y=x^2, x=\sqrt{y} \implies y'=2x, x'=\frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{y}}

Zadania do wykonania ręcznie

1. Oblicz funkcje pochodne następujących funkcji:
   1. 1. y(x) = -3x+3
      2. y(x) = \pi x + \sin(1)
      3. y(x) = \sin(2)
      4. y(x) = x^7
      5. y(x) = 2x^3 - 3x^2 + 8x - 9
      6. y(x) = ax^2 + 2ax + a
      7. y(x) = 6 x^{1/3}
      8. y(x) = x^{\pi}
      9. y(x) = \sqrt{x}
      10. y(x) = \cos(x) + \sin(x)
      11. y(x) = \exp(x)
      12. y(x) = \ln(x)
      13. y(x) = 2\sin(x) \cos(x)
      14. y(x) = x\sin(x)
      15. y(x) = xe^x
      16. y(x) = \ln(x) \exp(x)
      17. y(x) = (x+1)(x+1)
      18. y(x) = (x+1)\exp(x)
      19. y(x) = \ln(-x)
      20. y(x) = \sin(-x)
      21. y(x) = \sin(x^2)
      22. y(x) = \exp(-2x)
      23. y(x) = \exp(-3\sin(x))
      24. y(x) = \frac{1}{x+1}
      25. y(x) = \frac{x}{x+1}
      26. y(x) = \frac{1}{\sin(x)}
      27. y(x) = \frac{1}{1+\sin(x)}
      28. y(x) = \frac{1}{\sin(x^2)}
      29. y(x) = \frac{1}{\sin(x^2)+1}
      30. y(x) = \sqrt{x+1}
      31. y(x) = \log_{10}x
      32. y(x) = 10^x
      33. y(x) = x^x
      34. y(x) = arc\, cos(x)
2. Policz pochodną z definicji ilorazu różnicowego dla
   • 3x+1
   • x^2+1
   • stałej a
3. Policz ręcznie funkcję prędkości i przyspieszenia od czasu dla podanych poniżej ruchów. Jakie było położenie, prędkość i przyspieszenie w piątej sekundzie?
   • x(t)=150+50t-4.5 t^2
   • x(t)=sin(t)
   • x(t)=t-1/(t+1)
4. Biorąc funkcje z poprzedniego zadania narysuj w Octavie na jednym wykresie x,v,a dla każdego z poszczególnych przypadków z zadania wyżej (nie zapomnij o legendzie tak by wiadomo co pokazuje dana linia). Czy wartości dla t=5 pokrywają się z ręcznymi obliczeniami?
5. O pewnych funkcjach f i g wiadomo, że g(0) = 0, g'(0) = 2, f'(0) = 4. Ile wynosi pochodna funkcji złożonej f(g(x)) w punkcie x=0?
6. Korzystając z reguły de l’Hospitala znajdź granice niewłaściwe
   • \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}
   • \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2}
   • \lim_{x\to 0} \frac{{\sqrt{1+x}-1}}{x}
   • \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}
   • \lim_{x\to \infty} \frac{\exp x}{x}
   • \lim_{x\to \infty} \exp (x)\cdot \frac{1}{x}
7. Dlaczego reguły de l’Hospitala nie można użyć do wyznaczenia granicy poniżej? \lim_{x\to 0} \frac{x+1}{x-1}
8. Uogólnij regułę Leibniza na przypadek pochodnej iloczynu trzech funkcji: (f\cdot g \cdot h)'.